复变函数经典例题.doc

试问函数把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线? (1)以原点为心,2为半径,在第一象项里的圆弧; (2)倾角的直线; (3)双曲线。解设,则因此(1)在平面上对应的图形为:以原点为心,4为半径,在上半平面的半圆周。(2)在平面上对应的图形为:射线。(3)因,故,在平面上对应的图形为:直线。 设在点连续,且,,则,只要,就有特别,取,则由上面的不等式得因此,在邻域内就恒不为0。 设试证在原点无极限,从而在原点不连续。证令变点,则从而(沿正实轴)而沿第一象限的平分角线,时,。故在原点无确定的极限,从而在原点不连续。 在平面上处处不可微证易知该函数在平面上处处连续。但当时,极限不存在。因取实数趋于0时,起极限为1,取纯虚数而趋于零时,其极限为-1。故处处不可微。 ,但在不可微。证因。故但在时无极限,这是因让沿射线随而趋于零,即知上式趋于一个与有关的值。 讨论的解析性解因,故要使条件成立,必有,故只在可微,从而,处处不解析。 讨论的可微性和解析性解因,故要使条件成立,必有,故只在直线上可微,从而,处处不解析。 讨论的可微性和解析性,并求。解因,而在复平面上处处连续且满足条件,从而在平面上处处可微,也处处解析。且。 设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上且,试求之值。解设,则由代入得解得:,从而。 设则且的主值为。 考查下列二函数有哪些支点(a) (b)解(a)作一条内部含0但不含1的简单闭曲线,当沿正方向绕行一周时,的辐角得到增量,的辐角没有改变,即从而故的终值较初值增加了一个因子,发生了变化,可见0是的支点。同理1也是其支点。任何异于0,1的有限点都不可能是支点。因若设是含但不含0,1的简单闭曲线,则故的终值较初值增加了一个因子,未发生变化。最后不是的支点。因若设含0,1的简单闭曲线,则故的终值较初值增加了一个因子,未发生变化。(b)可能的支点是0,1,。设分别是含0但不含1,含1但不含0,和既含0又含1的简单闭曲线,则结果的终值较初值均发生了变化。故0,1,都是支点,另外别无支点。 试说明在将平面适当割开后能分出三个解析分支。并求出在点取负值的那个分支在的值解易知的支点是。因此,将平面沿正实轴从0到1割开,再沿负实轴割开。在这样割开后的平面上,能分出三个解析分支。现取一条从到的有向曲线(不穿过支割线),则于是又由题设,可取。故得。(3)关于对数函数的已给单值解析分支,我们能够借助下面的公式来计算它的终值: 即其中是一条连接起点和终点且不穿过支割线的简单曲线;是满足条件那一支在起点之值的虚部,是一个确定的值。 试说明在割去“从-1到的直线段”,“从到1的直线段”与射线“且”的平面内能分出单值解析分支。并求时等于零的那一支在的值。解的支点为。这是因当变点单绕一周时, 故的值增加了,的值未改变,从而,的值增加了,从一支变成另一支。故是支点,同理也都是支点,另外无其它支点。故在割去“从-1到的直线段”,“从到1的直线段”与射线“且”的平面内能分出单值解析分支。现设是一条连接起点和终点且不穿过支割线的简单曲线。则故这就是所要求之值。 求反正弦。 求解。,试证(1) (2) 证(1)因,故,即(2)因,选则得,但我们又可选,,可知积分存在,因而的极限存在,且应与及的极限相等,从而应与的极限相等。今,因此。注当为闭曲线时, (重要的常见例子) 这里表示以为心,为半径的圆周。(注意,积分值与,均无关)。证的参数方程为:。故; 试证。积分路径是连接和的直线段证的参数方程为即沿,连续,且而之长为2,,。 计算积分其中积分路径为:(1)连接由点到点的直线段;(2)连接由点到点1的直线段及连接由点1到点的直线段所组成的折线。解(1)连接及的直线段的参数方程为: (),故。(2)连接与1的直线段的参数方程: 。连接点1与的直线段的参数方程为: ,即,故由此例能够看出,积分路径不同,积分结果能够不同。 计算积分解在单连通区域:内,函数的一个原函数,且在内解析,故由牛顿— 计算下列积分(1), (2),其中为右半圆周,,,起点为,终点为; (3)那一支。解(1)因为的支点为,因此它在闭圆上单值解析。