基本不等式与其应用知识梳理与典型练习题(含答案).docx

.+b若a>0,,b>0,则 2 ≥ab,当且仅当时取“=”.这一定理叙述为::运用均值不等式求最值时,必须注意以下三点:各项或各因式均正;(一正)和或积为定值;(二定)等号成立的条件存在:含变数的各项均相等,取得最值.(三相等)(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).(2)ababa,b02注:不等式a2+b2≥和ab≥ab它们成立的条件不同,前者只要求、2ab2ab都是实数,而后者要求a、:ab≤(ab)(3)ab≤ab2(a,b∈R).2baa+b≥2(a,b同号且不为0).ab222(5)a+b2(a,b∈R).2(6)a2b2ab2a,b022ab11ab(7)abc≤;a,b,c0(8)≥;a,b,、最小值问题求最小值:a>0,b>0,当ab为定值时,a+b,a2+b2有,即a+b≥,a2b2≥.求最大值:a>0,b>0,当a+b为定值时,ab有最大值,即;或a2+b2为定值时,ab有最大值(a>0,b>0),,b∈,且a+b=,则a+b的最小值是():因为2a>0,2b>0,由基本不等式得 2a+2b≥2 2a·2b=2 2a+b=4 2,3当且仅当a=b=2时取等号,故选 >0,b>0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为( ):∵a>0,b>0,a+2b=2,∴a+2b=2≥2 2ab,即ab≤=1,b=<b,其全程的平均时速()v,则()<v<=<v<a++b2v=2解:设甲、∵a<b,∴v=2=2<2ssa+b2=+b2abab-a2a2-a2v-a=a+b-a=a+b>a+b=0,∴v>.(2014·上海)若实数x,y满足xy=1,则x2+:由xy=2+2=x22,当且仅当x=±4故1得xy+2≥,n在直线x+y=2m+2n点(1位于第一象限内的图象上运动,则loglog)>,m+n=,解:由条件知,m>,001m+n21所以mn≤2=4,1当且仅当m=n=2时取等号,∴log2m+log2n=log2mn≤log24=-2,故填- 利用基本不等式求最值求函数y=(x>-1):∵x>-1,∴x+1>0,令m=x+1,则m>0,且y==m++5≥2+5=9,当且仅当m=2时取等号,故ymin=→+∞或m→0时,y→+∞,故原函数的值域是 [9,+∞).(2)下列不等式一定成立的是()>lgx(x>0)+≥2(x≠kπ,k∈Z)+1≥2|x|(x∈R)>1(x∈R)x+121121解:A中,x+≥x(x>0),当x=时,x+=,sinx+sinx≥2(sinx∈(0,1]);1sinx+sinx≤-2(sinx∈[-1,0)).C中,x2-2|x|+1=(|x|-1)2≥0(x∈R).1D中,x2+1∈(0,1](x∈R).故C一定成立,:ax2+bx+c这里(1)是形如f(x)= 的最值问题,只要分母x+d>0,都可以x+def(x)转化为f(x)=a(x+d)+x+d+h(这里ae>0;若ae<0,可以直接利用单调性等方法求最值),再利用基本不等式求其最值 .牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等,-4t+1(1)已知t>0,则函数f(t)= +11t>,∴ft=-4解:∵)=t+-≥-,0(tt42t=时,)min=-,故填-(22已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:(Ⅰ)xy的最小值;(Ⅱ)x+:(Ⅰ)由2x+8y-xy=0,得+=1,又x>0,y>0,则1=+≥2=,得xy≥64,当且仅当x=4y,即x=16,y=4时等号成立.(Ⅱ)解法一:由2x+8y-xy=0,得x=,∵x>0,∴y>2,x+y=y+=(y-2)++10≥18,当且仅当y-2=,即y=6,x=:由2x+8y-xy=0,得+=1,则x+y=·(x+y)=10++≥10+2=18,当且仅当y=6,x= 利用基本不等式求有关参数范围若关于x的不等式(1+k2)x≤k4+4