孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.9 布洛赫电子在恒定磁场作用下的运动.ppt

布洛赫电子在恒定磁场作用下的运动
本节主要内容:
二、均匀磁场中自由电子的量子化理论
三、德哈斯-范阿尔芬效应
四、回旋共振方法
一、恒定磁场中布洛赫电子的准经典运动
1 .恒定磁场中的准经典运动
准经典运动的两个方程:
一、恒定磁场中布洛赫电子的准经典运动
所以,在空间中,波矢满足:
1). 垂直于的方向
2). (波矢的变化)垂直于的方向
说明电子沿着等能面运动
因而,在k空间,电子总是沿着垂直于磁场的平面和等能面的交线运动.
说明k沿磁场方向的分量和电子的能量是运动常量
自由电子的等能面是球面,与 kz 垂直的平面与等能面的交线就是一系列圆.
(1)电子在空间的运动图象
在k空间,电子总是沿着垂直于磁场的平面和等能面的交线运动
以自由电子为例加以讨论:
kz 保持不变,在 kx — ky 面内做匀速圆周运动,回转的频率
(2)电子在实空间的运动图象
电子在r 空间做螺旋运动,即在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动,回旋频率为
以上讨论的是自由电子,对于布洛赫电子,由于晶格周期场的作用,闭合轨道并不一定是圆形,但形式上仍可写成:
相应的周期为:
设Δ(k)是垂直于磁场的轨道平面内能量为ε和ε+ Δε两个等能面间法线距离。
如图:
由得:
与比较可知:
它与只和电子态有关的电子的有效质量不一定相同。
对方程两边用叉乘,得:
所以,电子在实空间的轨道可由在k空间的轨道绕磁场轴旋转90度,并乘以因子得到.
电子在实空间的轨道可由在k空间的轨道绕磁场轴旋转90度,并乘以因子得到.
二、均匀磁场中自由电子的量子化理论
考虑边长为 L 的立方体,以它们的边长为 x,y,z 轴,外磁场平行于z 轴且均匀. 即:
自由电子在外加磁场(沿z轴方向)的哈密顿算符为:
:电子的运动学动量,
:电子的场动量,
:矢量势
1. 朗道能级
则由于且
中不含x,z,所以它和算符及是对易的。根据量子力学,可选的本征波函数同时为的本征波函数。
可令