第3章 矩阵的分解 PPT.ppt

第3章、position1矩阵分解的概述矩阵的分解:A=A1+A2+…+Ak矩阵的和A=A1A2…Am矩阵的乘积矩阵分解的原则:实际应用的需要理论上的需要计算上的需要显示原矩阵的某些特性矩阵化简的方法之一主要技巧:各种标准形的理论和计算方法矩阵的分块2§:三角分解满秩分解可对角化矩阵的谱分解AT=A相似标准形等价标准形3一、矩阵的三角分解方阵的LU和LDV分解()LU分解:AFnn,存在下三角形矩阵L,上三角形矩阵U,使得A=LU。LDV分解:AFnn,L、V分别是主对角线元素为1的下三角形和上三角形矩阵,D为对角矩阵,使得A=LDV。已知的方法:Gauss-消元法例题1()设求A的LU和LDV分解。结论:如果矩阵A能用两行互换以外的初等行变换化为阶梯形,则A有LU分解。():矩阵的k阶主子式:取矩阵的前k行、前k列得到的行列式,k=1,2,…,n。定理:AFnn有惟一LDV分解的充要条件是A的顺序主子式Ak非零,k=1,2,…,n-1。证明过程给出了LDV分解的一种算法。()设矩阵AFnn,rank(A)=k(n),如果A的j阶顺序主子式不等于0,j=1,2,…,k,则A有LU分解。定理条件的讨论例题2()LU分解的应用举例5二、()对秩为r的矩阵AFmn,如果存在秩为r的矩阵BFmr,CFrn,则A=BC为A的满秩分解。实用方法:方法3例题2(,eg5):任何非零矩阵AFmn都有满秩分解。满秩分解的求法:方法1:方法2例题1(,eg4)方法3例题3(,eg6)6三、可对角化矩阵的谱分解将方阵分解成用谱加权的矩阵和谱:设AFnn,则A的谱={1,2,,s}。,P具性质::分解结果:幂等矩阵意义:可对角化矩阵可以分解成以谱加权的幂等矩阵的加权和72、()矩阵A可以相似对角化当且仅当矩阵A有谱分解,满足条件:充分性的证明:=V1V2Vn8大家有疑问的,可以询问和交流可以互相讨论下,()PFnn,P2=P,则矩阵PH和矩阵(I–P)仍然是幂等矩阵。P的谱{0,1},P可相似于对角形。Fn=N(P)R(P)N(P)=V=0,R(P)=V=1P和(I–P)的关系N(I–P)=R(P),R(I–P)=N(P)()设A是秩为k的半正定的Hermite矩阵,则A可以分解为下列半正定矩阵的和。A=v1v1H+v2v2H+…vkvkH10