高三数学-专题复习-数列(1)求通项方法及经典练习(含答案).docx

-数列(1)求通项方法及经典练****含答案)1、定义法:直接求首项和公差或公比。公式法:anSnSn Sn1(;;两种用途(列举)'结果要验证能否写成统一的式子•例、数列an的各项都为正数,且满足2an14N*,:由S,2an1 *nN彳得4an14Sn1Sn22an11an1化简得an1anan1 an2 0,因为an0,an1an2,又4S4a,ai21得a11,故{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,所以an2n1•解二:由Sn,,2.,瓦SnSn11n2化简可得...Sn 1Sni,;又Si1,所以数列{...$}是首项为1,公差为1的等差数列,、.、Snn,从而 Sn n2,所以anSnSn12n1,又a11也适合,故an练****已知数列{an}的前n项和Sn满足an2SnSn10(n2),a1=-2,•求an•1(n答案:an=2 12n(n~1)(n1)2)扩展一:作差法例、在数列{an}中,1, 2a?3a3Lnan(n1)2n,求an•解:由2q2a23a3Lnan(n1)n2a23a3L(n1)an1(n2)2(n=1)练****理):已知数列{an}满足 ai 1, an ai 2a? 3aa L(n1)an i(n 2),:由anai2a23a3L(n1)ani(n2),得an1a12a23a3L(n1)an1nan,即ann1(n2),所以an 引~an1Lanan1an2a2 a12a2,则a2a1 1,代入上式,得1(n1)所以,{an}的通项公式为an n!7(n2).两式t相减,得an1annan,a3a2 [n(n1)L43]a2卫a2又由已知,得a22an1345Lnn!2扩展二、作商法例、在数列{an}中,a11,对所有的n2,都有印?a2?a3?L?ann2,求a..解:■/a1?a2?a3?L?,二a?a2?a3?L?an2(n1)2,故当n2时,两式相除,得an2n(n1)2,1 (n=1)2n(n1)2(n2)3、叠加法:对于型如an1anf(n)、在数列{an}中,a13,an1an治,、已知数列an满足%12an2n13),S352,:由am2an2n13n[,两边同除以2an1得盯an3n2n洛1n1,列出相加得an2-丄-222又由已知求得a16,.Iann?2n3n1nN*.练****已知数列{an}满足anian23n1,a!3,求数列{a.} 3n答案:an23—、叠乘法:一般地,对于型如an1=f(n)•an的类型例(理)、已知数列{an}满足an12(n1)5na.,q3,求数列何}:因为an1n2(n1)5an,a13,所以an 0,a则4 2(n1)5n,故anananan1a3 a2L——a1 [2(n11)5n1][2(n21)5n2]L[2(1 1)51]3an1an2a? a〔n(n1)2n1[n(n1)L32]5(n1}(n2)L21 33n1 22 52n!,所以数列{an}的通项公式为115n(n1)an32r2 n!.练****在数列{an}中,印1, anan 1(a >2),求a.. 答案:an --.n1 n(n1)5、构造法:型如an+1=pan+f(n)(p为常数且p工0,p工1)的数列(1)f(n)=q(q为常数)一般地,递推关系式a+1=pan+q(p、q为常数,且p工0,p工1)等价与an1 - p(an -),则{an -}为等比数列, 1p 1p3a例、已知数列{an}满足a1丄,an乞旦1(n2), 1 1 1解:由an u,得1a* _(1an1),又1a1 0,所以数列{1a*}是首项为—,2 2 2 2公比为1的等比数列,•••an1(1印)(-)n1 1 (-):已知数列{an}的递推关系为an12an1,且a11,:an2n1.⑵f(n)为等比数列,如f(n)=qn(q为常数),两边同除以qn,得P*1,令S*,qq q则可转化为bn+1=pbn+、已知数列{an}中,a=6,an,3an(八求通项an-2 2 2解:由条件,得2n+1an+1= 1 1解:由2anan!6n3,得a. 41 (6n3),[a.!A(n1)B], 2 2(2nan)+1,令bn=2nan,则bn+1=2bn+1,bn+1-3=2(bn-3)3 3易得bn=3(l)n13,即2°an=3(3)n13,an3n2n练****已知数列{an}满足an12an32n,&2,:an(3n22.