无穷思想发展史.doc

无穷思想发展史.doc数学中的无穷思想发展史无穷作为一个极富迷人魅力的词汇,长期深深激动着人类的心灵。那么彻底弄清这一概念也就是维护人类智力尊严的一种需要。而数学是“研究无限的科学”,因此数学就责无旁贷地担当起征服无穷的重任。在本文中将要简要介绍一下数学中无穷思想发展的历程。自古至今,一直有这样一个问题困惑着我们,那就是自然数到底有多少?看似这是一个没有意义的问题。因为自然数是无穷的,那么什么事无穷呢?无穷就是没有尽头。设想一个人从1开始数自然数,无论他的寿命有多长,工作多么勤奋,他不可能把自然数数完。理由彳艮简单:如果他数到的最后一个数是n,那么n+1也是自然数!既然不可能把自然数数完我们能不能说“全体自然数”如何如何呢?这个问题在两千年就出现了,而且有两种对立的回答。一种回答认为:“全体自然数”是存在的。因为每个自然数都是可以数到的,所以每个自然数都存在。既然每个都存在,为什么“全体”就不存在了呢?这种观点叫做“实在无穷”的观点,是柏拉图的观点。另一种回答认为:自然数是数不完的,这表明自然数的产生是个无穷无尽的过程。只有这个过程结束了,才得到自然数的全体。但这个过程永不结束,因而无法得到自然数的全体。但是,自然数可以越来越多,多的超过任何具体的数目,因而是无穷的。这无穷表现为变化发展的过程,因而叫做“潜无穷”。然而在接下来的两千年当中,多数哲学家和科学家赞同亚里士多德“潜无穷”的观点。并没有多无穷进一步地具体的科学思考,直到伽利略的出现才改变无穷的现状。伽利略在有没有“实在无穷”的问题上,他也在反对亚里士多德的只有“潜无穷”而无“实在无穷”的看法。他不像以前的哲学家那样仅限于抽象的思考,他希望具体比较实无穷的大小。他考虑到两个实在无穷,全体自然数{1,2,3,.......n,......}构成实无穷、全体完全平方数{1,4,9,……",......}也构成实无穷。是自然数多呢?还是完全平方数多呢?直观上看,自然数多。但从另一个角度看,有一个自然数,便有一个完全平方数:1,2,3,.2,4,6, 2n,把所有自然数在想象中排成一行,每个自然数肩膀上添个小小的2,便正好事全体完全平方数。难道添上这些指数就能把全体自然数变少了吗?这样看,全体自然数又应当和全体平方数一样多!最后伽利略据此得出结论说:比较无穷量是不可能的。当时伟大的数学家莱布尼茨得出的结论是:“所有整数的个数”这一提法自相矛盾,应该抛弃。就连19世纪天才的数学家高斯也表达了他对无穷量的惊恐情绪:我反对使用无穷量……这在数学中是绝对不允许的。无论有多少数学家在无穷量面前退缩,或者否定其存在,在19世纪中叶时,数学中却再也不能没有这个概念了。从1600年到1850年的这段时间里,数学已经取得了巨大的进展。在这英雄的时代里,伟大的智力冒险家们凭借他们的天才和直觉,敢于超越困难的断层而先设想追求的目标。如果想继续前进,就迫切需要一批富有想象力和大胆批判精神的思想家,这一批大胆的思想家将能够不顾、甚至蔑视直接和常识。(Cantor)的出现才最终实现了。他终于对数学中最抽象的领域做出了巨大的贡献,同时他的工作受到了革新家们通常所遭遇到的那种经历一一被人呢忽视、嘲笑,甚至虐待。(LeopoldKronecker)对康托尔的成就进行了猛烈地攻击。稍微温和一点的权威性