高中数学竞赛 第35讲 整数性质教案.doc

、差、积都是整数,:,(b≠0),可以将a表示为a=bq+r,这里q,r是整数,且0≤r<,=0时,a=bq,称a能被b整除,或称b整除a,记为b|a,b叫做a的因数,a叫做b的倍数;q取1,则a=b,≠0时,称a不能被b整除,b不整除a,记作b├|a,c|b,则称c是a,b的公因数,a,b的最大公因数d记为(a,b).若a|c,b|c,则称c是a,b的公倍数,a,b的最小公倍数M记为[a,b].一个正整数,;有两个正因数的正整数称为素数(质数),素数的正因数只有1和它本身;正因数个数超过两个的正整数称为合数,,若不考虑素数相乘的前后顺序,,其中有些素数可能重复出现,把分解式中相同的素数的积写成幂的形式,大于1的整数a可以表示为:a=,其中i=l,2,…,(不考虑乘积的先后顺序).若a的标准分解式是a=,其中i=l,2,…,s,则d是a的正因数的充要条件是d=,其中0≤βi≤αi,i=l,2,…,,a的正因数的个数为d(a)=(α1+1)(α2+1)…(αs+1).由a的标准分解式a=(i=l,2,…,s),若a是整数的k次方,则αi(i=l,2,…,s),则αi(i=l,2,…,s):设a=bc,且(b,c)=1,若a是整数的k次方,则b,,则b,,则这样的a的最大值是(),a是它的约数,a不会超过36,不能排除任何选择支;观察第二个小的三个连续自然数的立方和,进一步缩小a的范围,可以排除取偶数的可能。当前面几个都是某数的倍数时,可以猜想出a的最大值,但最好能证明所有“三个连续自然数的立方和”都是某数的倍数。解记an=n3+(n+1)3+(n+2)3,则a1=13+23+33=36=4×9,a2=23+33+43=99为奇数,则a|a1,a|a2,(a1,a2)=9,故a|9,所以a=1,3,9。又an=n3+(n+1)3+(n+2)3=3n3+9n2+15n+9=3n3+9n2+6n+9n+9=3n(n2+3n+2)+9(n+1)=3n(n+1)(n+2)+9(n+1),∴9|an,故amax=9,选A。,说明解法中,把3n3+9n2+15n+9分为3n(n2+3n+2)与9(n+1)两部分,分别说明其为9的倍数。在考虑整除的证明时,把整数n的多项式分成几组分别因式分解是常用的方法。,则p2除以24的余数为1。分析:即证明p2-1是24的倍数,也即证明p2-1既是3的倍数又是8的倍数。p-1、p+1之间只有一个质数p,而连续的两个自然数中必有2的倍数,连续的三个自然数中必有3的倍数。证明1∵p是大于3的质数,∴p不是偶数,不是3的倍数,又∵p2-1=(p-1)(p+1),连续的三个整数中必有3的倍数,∴p-1、p+1中必有3的倍数,且p-1、p+1是连续的两个偶数,(p-1)(p+1)是8的倍数。∴p2-1=(p-1)(p+1)是24的倍数,即p2除以24的余数为1。证明2设p=6n±1(6n,6n±2,6n+3均为合数),则(6n±1)2=36n2±12n+1=12n(3n±1)+1,∵n和3n±1必为一奇一偶,∴n(3n±1)为偶数。∴12n(3n±1)必为24的倍数,∴(6n±1)2=24k+1即p2除以24的余数为1。说明大于3的质数,必定是奇数,又不是3的倍数,所以一定是形如6n±1的数。6是24的约数,用这样的形式表出后再变形,容易推出结论。。分析即证明(21p+4,14p+3)=1。若a、b、c是三个不全为0的整数,且有整数t使得a=bt+c,则a、b与b、c有相同的公约数,因而(a,b)=(b,c),即(a,b)=(a-bt,b)。可以用此法化简。证明∵(21p+4,14p+3)=(21p+4―14p―3,14p+3)=(7p+1,14p+3)=(7p+1,14p+3―14p―2)=(7p+1,1)=1,∴是既约分数。说