无穷级数知识点.doc

无穷级数级数收敛充要条件:部分与存在且极值唯一,即:存在,称级数收敛。2、若任意项级数收敛,发散,则称条件收敛,若收敛,则称级数绝对收敛,绝对收敛得级数一定条件收敛。、任何级数收敛得必要条件就是3、若有两个级数与,则①,。②收敛,发散,则发散。③若二者都发散,则不确定,如发散,而收敛。:等比级数:P级数:对数级数:5、三个重要结论①收敛存在②正项(不变号)级数收收,反之不成立,③与都收敛收,收常用收敛快慢正整数由慢到快连续型由慢到快7、正项(不变号)级数敛散性得判据与常用技巧达朗贝尔比值法柯西根值法比阶法①代数式②极限式,其中:与都就是正项级数。,,也可选用基准级数就可知原级8、任意项级数得敛散性得判据与常用技巧●莱布尼茨判交错级数(任意项级数得特例)①②收敛。这就是一个必要条件,如果①不满足,则必发散,若只有②不满足,则不一定收敛还就是发散,要使用绝对收敛判别其敛散性。●任意项级数判敛使用绝对值,使之转换为正项级数,即绝对收敛、条件收敛或发散。●任意项级数判敛得两个重要技巧:微分积分法。换成连续变量,再利用微积分相关定理与性质。阶无穷小试探法。在不能估计出通项得无穷小阶次时,使用该试探法,9、(Abel)定理如果级数当点收敛,则级数在圆域内绝对收敛;如果级数当点发散,则级数在圆域外发散。由阿贝尔(Abel)定理可见收敛点集或发散点集就是分别连接成对称连续区域,这一定理就是引入幂级数收敛半径、收敛区间与收敛区域概念得理论依据。注意,除外,该定理并没有完全保证圆上每一点得敛散性,正确理解阿贝尔定理就是学好幂级数得关键。如推论:如果不就是仅在一点收敛,也不就是在整个数轴上都收敛,则必有一个确定得正数存在,使得:、收敛区间与收敛区域已知,若;则根据比值判敛法有:收敛。●收敛半径:。●收敛区间:级数在收敛;幂级数得收敛区间就是非空点集,对至少在处收敛,对至少在处收敛。由阿贝尔定理可以推出:幂级数得条件收敛点只能位于收敛区间端点。●收敛域:由于级数在收敛区间得端点上(收敛半径上)收敛性待定,故收敛域就是、、或四种情况之一。(1)得与函数连续并有任意阶导数;(2)可逐项微分(3)可逐项积分(4)绝对收敛。11.