极限、连续与间断.doc

第一章极限、连续与间断本章主要知识点求极限的几类主要题型及方法连续性分析间断判别与分类连续函数的介值定理及应用一、求极限的七类题型求极限问题归纳为七类主要题型,这里介绍前五类,后两类在相应的章节(洛必达法则,变限积分)再作相应介绍。(1)题型I 方法:::原式=:原式===:原式===:原式==1(2)题型II原式=:原式=1/:原式=:原式===:令,原式==:a+2+b=0,原式=a=2,b=-4答案错误(3)题型III若,:因为=0,而有界所以原式=0。:因为(),有界, 所以原式=,有界; 所以原式=0。(4)题型IV识别此类题型尤为重要,::原式===.:原式= = :原式=(5)题型V等价无穷小替换替换公式:替换原则:乘除可换,加减忌换。:=:原式==-:原式==. (题目可能有误分子部分的9可能应替换为19)解:令,则原式====:原式=:原式=:原式=:原式===(6)题型VI洛必达法则(见导数相关内容);(7)题型VII变上限积分有关积分(见积分相关内容);、极限应用—连续性分析定义:变形:,其中分别表示左、右极限。.,若在处连续,求。解:,.,若在处连续,求解:由得:.,其中为有界函数,问在是否连续?解:因为所以,在处连续。?解:,不论取何值,均不能连续。三、极限应用—:可能间断点应是其定义域中不能取值的端点或分段点。:(a),为可去间断;(b),为第一类间断,或称跳跃型间断;(c)、至少有一个不存在,为第二类间断;特别地,若左右极限中至少有一为,则为第二类无穷间断。:间断点为,,,对于,,因为,所以为可去间断。对于,当,即,,可去间断;对于,当,即,,可去间断;当,,为第Ⅱ类无穷间断。:间断点,0,。在为Ⅱ类无穷间断。,x=0为可去间断点。:定义域为。间断点为。因为,所以均为的Ⅱ类无穷间断。:定义域为,间断点为对于,,为第Ⅱ类无穷间断;对于,,为第Ⅱ类间断。注:对仅考虑了其一个单侧极限。:间断点是:,x=0是可能间断点。对于x=0,f(0+0)=,f(0-0)=,x=0为第Ⅱ类间断;对于为第Ⅱ类间断;对于x=2,f(2-0)=0,f(2+0)=,为第Ⅱ类间断。注:分段函数左右支分别识别,分段点单独考虑。四、连续函数介值定理定理:在闭区间内连续,且,则在至少有一零点,即存在,使得。应用此定理需要注意以下几点:(0)如何定义。区间的选择,在证明题过程中,有明确的线索。验证在闭区间上的连续性,验证在两端的符号。此定理不能确定是否具有唯一零点,但有唯一性的要求时,应验证在内的单调性(参见导数应用部分):在内有一实根证:构造,易知在上连续,且,,故,由连续函数介值定理知,在有实根,即命题得证。:令,在内连续,且,