几个最值问题的再思考.doc

几个最值问题的再思考罗永高 (奉化高级中学浙江奉化315500)文[1]给出了三个最值问题:问题1已知均为正数,且一+—二—,求Cl+b+J/+(Y,―)任作一条直线分别交x轴、y轴的正半轴于⑴略;(2)求22OA/|+|cw|->>0,虫^+上=1,求。+/?- +。2的最大值ab作者用纯粹的代数方法,,?1化归问题121问题1己知。力均为正数,且一+二=一,其几何意义为过点P(4,8)任作一条直线分别ab4交尤轴、y轴的正半轴于M(o,O),N0,O).」+/?+:过点P(4,8)任作一条直线分别交x轴、y轴的正半轴于M(g,O),N0,O).求直角三角形。,由于a+b-yla2+b2其儿何意义为直角三角形OMN的内切圆半径的两倍,因此问题2与问题3可转化为:巧1过点P(—,-)任作一条直线分别交x轴、),轴的正半轴于求直角三角形。:rvC解如图,设△OMN直角所对的旁切圆圆心为C,令旁切圆的半径为广,则C(,・y),・.•CP|>r,/.(r-4)2+(r-8)2>r2,=>r2-24r+80>/*<<=20时,即CP=r=20,此时CP1/,=>kCP*=一1,即一=—•a3121 40结合一+一=一可知当且仅当a=\^b=—H寸,ab4 3a+b+J/+/:解决问题1的关键是通过观察图形,发现\CP\>r,=20时,由直线CPJ的垂直关系,得到。力的等量关系,可知a+b+yla2+,可得以下一般情形:定理1过定点P(m,n)(m>0,〃>0)的直线/交x轴正半轴于点M,交y轴正半轴于点N,O为坐标原点,令\OM\=a\ON\=b,Rt^MN直角所对的的旁切圆半径为尸,则r=:(。+/?+y/a2+b~)的最小值为m+h+7Zmn.. (m2+n2)y/2mn , (m2+n2}yj2mn此时a= ,b= -=.n~-inn+mJ2mn m~-inn+nJZmn同样可得问题2与问题3的一•般情形;定理2过定点P(m,n)(m>0,〃>0)的直线/交x轴正半轴于点A/,交y轴正半轴于点N,O为坐标原点,令\OM\=a,\ON\=b,RtAMN的内切圆半径为r,则当—<n<2m时,内切圆半径尸有最大值,最大值为m+n-』>2m或〃V竺时,2 ,设△OMN内切圆圆心为C,令内切圆的半径为尸,则C(r,r)・.,CP>r,(r-/n)2+(/*-n)2>r2,=>r~-(2/n+2n)r+m2+n~><m+n-yphnn或尸Zm+〃+y/>m+n+J2/=m+〃-J顽时"即\CP\=r,其几何意义为内切圆与直线/相切