222直线的参数方程.docx

222直线的参数方程.docx第一节直线的参数方程知识点;7T1、经过点M0(x0,y0),倾斜和为a(6Z^—)的直线/的普通方程是y-yG=tana(x-x0)在直线/上任取一点M(x,y)M()M=(兀,刃一(兀0,儿)=(兀一兀0*-儿)设£是直线/的单位方向向量(单位长度与坐标轴的单位长度相同),则幺(cosa,sina),(ag[0,tt))因为e,所以存在实数twR,使M()M=te,即(x-x0,y-yQ)=/(cosa,sina)于是x-xG=tcosa,y-儿二fsina,即x=x0+rcosa,y=儿+fsina因此,经过点M()(x(),)b),倾斜角为Q的直线/的参数方程为fx=xn+cosa\ 0 (r为参数)[y=y()+fsina2、 因为£=(cosa,sincO,・・・k|=l,由M{}M=te,得到M{)M=\t\f因此,直线上的动fx=xn+zcosa点M到定点M()的距离,等于彳0 (r为参数)中参数r的绝对值。[y=yQ+tsma3、 当0vav龙时,sina>0,所以,总线/的单位方向向量纟的方向总是向上。此吋,若r>0,则厉而的方向向上;若r<0,则肪而的方向向下;若/=(),则点M与点合。4、 直线的一般参数方程转化为标准的参数方程[x=xn+at已知直线的参数方程为彳°a为参数),由氏线的参数方程的标准形式\y=y^btx=cosa(/为参数)可知,参数f的系数分别是其倾斜角的余弦值和正弦值,二者y=yQ+tsina的平方和为1,故可将原式转化为《ayla2+b2byja2+b2•y/a2+b2t (/为参数)•Qa2+bh再令cosa-/,sina,由直线倾斜角的范围让。在[0,龙)范围内取值,y=>o+并且把J/+b2(看成标准方程中的参数厂,即得标准形式的参数方程式为x=xn+^cosa\ 0 (厂为参数)[y=y()+广sina5、直线参数方程的应川x=xn+fcosa设过点几(勺,儿),倾斜角为Q的肓线/的参数方程是彳 ° . (/为参数)y=y()+tsina若片,鬥是/上的两点,它们所对应的参数分别为rpr2,则(1)P},P2两点的坐标分别是(x0++tAsina),(x0++12sina)⑵I啊(3)线段用鬥的中点P所对应的参数为/,贝霁=上4,中点P到定点£)的距离2pp,=t+(22(4)若儿为线段£鬥的中点,则片+4=0(5)曲线上有两点A,B关于直线y二也+b对称,可设AB中点为M°(a,M+b),则直线AB的参数方程为\x=a^~tcosa ,其中聖匕二一丄,再利用4+匚=0解之。y=ka^b+tsina cosak二、例题例1、直线\x=~2~^\t为参数)上与点p(—2,3)距离等于血的点的坐标是 [y=3+V2r 逅解:根据距离公式可得如山=近,解得t=±—f代入可得(-3,4)或(一1,2)例2、直线/过点M°(l,5),倾斜角为壬,且与直线x-y-2^=0交于M,则\MMq\的长为-兀=1+—解:直线/的方程为《代入兀_),_2尽0,解得MM()=/=10+6命y=5+—ti =-\,经过点M°(2,—l),点M在直线上,以的数量/为参数,则点线/的参数方程为解:由参数f的几何意义可知,肓线的参数方程可以写成标准形式x=cos0° .°(r为参y=y()+/sin&数)其中&为直线的倾斜角。因为直线的斜率为-1,所以直线的倾斜角心35。,所以cos—亍sin&p所以直线/的参数方程为〈“2-呂彳厂a为参数)IV2V=-ld 12例4、设曲线C的参数方程为x=2+3cos"(&为参数),直线/的方程为x_3y+2=0,y=-l+3sin&则曲线c到直线/的距离为玄@的点的个数为()10A、1 B、2 C、3 D、4解:由曲线C的参数方程得对应的圆的圆心坐标为C(2,-l),半径厂=3,那么C到肓线f+2"的距皿号磊,那么画与曲线C和交,结合图像可知c上釦距离为的点有2个。例5、设极点与原点重合,极轴与x轴正半轴重合。已知Illi线G的极坐标方程是Rpsin(f—&)=¥伙工0),曲线C?的参数方程为《x=2+2cosa“2si吟胖为参数〉’则两曲线公共点的个数为 解:将两曲线方程化为直角坐标方程,得Cl:kx-ky-l=0, —y—2=0,两直线平行或重合,所以公共点的个数为0或无数。填:0或无数[\=-l+2cos&例6、已知总线/:3兀+4y-12=0与圆C# (&为参数),试判断它们的公[y=2+2sin&共点的个数解:圆的方程可化为(兀+1)2+()‘,一2)2=4,其圆心为C(—l,2),半径为2,圆心到直线的距离为〃」-3:2><4_12|=?<2,所以总线和圆相交,+42