向量线性相关性线性向量向量线性相关线性相关性.doc

?2向量的线性相关性教学目的通过2学时教学,使学生基本掌握向量组线性相关与线性无关的定义、性质、判别,基本掌握替换定理及其应用,以及线性无关极大组、向量组等价、秩等概念(教学内容23向量的共线、共面与否系几何空间R、R中向量间的基本关系(它们在一般空间中的反映就是本节要阐述的向量的线性相关性((若存在不全为零的数,,,,?,,,Fk,k,1212t,使得?,k,Ft,k,,k,,?,k,,,1122tt则称线性相关;否则,称线性无关(,,,,?,,,,,,?,,12t12t2设R,若与共线,则线性相关;否则,则,,,,,,,,,2121123线性无关(又设R,若共线或共面,则,,,,,,,,,,,,,,12123123线性相关;否则,则线性无关(,,,,,,,,,,123123n,,,,,,设,若,则线性无关;若,则线性相关(,,,,Fn请注意,设,,,,?,,,F,则12t(0,,0,,?,0,,,12t此时,切不能说线性无关(但是,若向量方程,,,,?,,12tx,,x,,?,x,,,1122tt只有零解,即其解只为x,x,?,x,0,则线性无关(,,,,?,,12t12t我们来考察线性相关与线性无关的一些基本事实(首先,,,,,,,111t12,,,,,,aaa221t22,,,,,,,,…,,(1),,,,,,1t2???,,,,,,,,,,,,aaan1n2nt,,,,,,n,t记,则线性相关(线性无关),当且仅当齐A,(a),F,,,,?,,12tijnt次线性方程组AX=0有非零解(只有零解),即N(A)?0(N(A)=0)(,,则,?,,F,,,,?,,,F,,?,1t,1,1tts也线性相关(?,,,,,,t,stt,1证此时,有不全为零的,使得k,k,?,k,F12t(k,,k,,?,k,,,1122tt从而有,k,,?,k,,0,,?,0,,,11ttt,1t,s故线性相关(,,?,,,,,?,,1tt,1t,,设线性无关,则也线性无关,,,?,,,F,,,?,,1iim1t这里是{1,…,m}中的t个不同元素(i,?,i1ts,t注意到若AX=0有非零解,由A的s个行组成,则BX=0B,F也有非零解(于是,由定义1、,删去的同位置的n,s个分,,?,,,F,,?,,11tts?,,,F量得到(若线性相关,则也线性相,,,,?,,,,?,,t11t1t关(sn?,,,,,且,,?,,,F,,1t1t,,,,,,,,,21t,,,,,…,(,,,,,,,,,21t,,,1t2,,,,,,若线性无关,则也线性无关(,,?,,,,?,,1t1t考虑线性相关性与线性表示的关系,我们有nn,,,,?,,,F线性无关,,且线,,?,,,,11tt性相关,则可以由线性表示,且表达式是唯一的(,,,?,,1t证由线性相关知道有不全为零的,使得,,?,,,,k,?,k,k,F1t1t,k,,k,,?,k,,k,,,11