极坐标与参数方程考点.doc

数学选修4-4坐标系与参数方程(教师版)主干知识一、:在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系。:在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,当取定这三条直线的交点为原点,并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐标系。:在平面上取一个定点O,自点O引一条射线OX,同时确定一个单位长度和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系。(其中O称为极点,射线OX称为极轴。)设M是平面上的任一点,表示OM的长度,表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的角。那么有序数对称为点M的极坐标。其中称为极径,称为极角。约定:极点的极坐标是=0,可以取任意角。,x轴正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P的直角坐标极坐标分别为(x,y)和,则二、:若直线过点,且极轴到此直线的角为,则它的方程为:几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点(2)直线过点且垂直于极轴(3)直线过且平行于极轴图:方程::若圆心为,半径为r的圆方程为:几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点(2)当圆心位于(3)当圆心位于图:方程:、圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化利用:三、,若曲线C上的点满足,该方程叫曲线C的参数方程,变量t是参变数,(1)参数方程化为普通方程常见参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线:⑴(为参数);⑵(3)(4)(t为参数)(5)(为参数)☆参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程,不要忘了参数的范围!(2)普通方程化为参数方程常见化普通方程为参数方程,1、圆的参数方程。2、经过点P。3、椭圆的参数方程。4、抛物线普通方程化为参数方程需要引入参数,选择的参数不同,所得的参数方程也不一样。二、考点阐述考点1、极坐标与直角坐标互化例题1、在极坐标中,求两点之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程。、已知曲线的极坐标方程分别为,,则曲线与交点的极坐标为.【解析】我们通过联立解方程组解得,即两曲线的交点为。.(宁夏09)已知圆C:,则圆心C的极坐标为_______答案:()(2009丹东)(1)已知点c极坐标为,求出以C为圆心,半径r=2的圆的极坐标方程(写出解题过程);(2)P是以原点为圆心,r=2的圆上的任意一点,,M是PQ中点,当点P在圆上运动时,求点M的轨迹的参数方程。(2)依题意考点2、极坐标与直角坐标方程互化例题2、,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是参数),点是曲线上的动点,点是直线上的动点,求||:曲线的极坐标方程可化为,其直角坐标方程为,即.……………(3分),圆心到直线的距离……………………(6分)所以,的最小值为.…………………………(10分)、(沈阳二中2009)设过原点的直线与圆:的一个交点为,点为线段的中点。求圆C的极坐标方程;求点M轨迹的极坐标方程,:圆的极坐标方程为……4分设点的极坐标为,点的极坐标为,∵点为线段的中点,∴,……7分将,代入圆的极坐标方程,得∴点轨迹的极坐标方程为,它表示圆心在点,半径为的圆.……、参数方程与直角坐标方程互化例题3:(2009学年海南省)已知曲线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为.(1)将曲线的参数方程化为普通方程,将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)曲线,是否相交,若相交请求出公共弦的长,若不相交,:(1)由得∴曲线的普通方程为 ∵ ∴ ∵ ∴,即 ∴曲线的直角坐标方程为 …………………………………(5分) (2)∵圆的圆心为,圆的圆心为 ∴ ∴两圆相交 设相交弦长为,因为两圆半径相等,所以公共弦平分线段 ∴ ∴ ∴公共弦长为……………………(10分)(本小题满分10分)选修4-4::为参数,0≤<2π),(Ⅰ)将曲线化为普通方程;(Ⅱ)求出该曲线在以直角坐标系原点为极点,轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程.(Ⅰ) …5分(Ⅱ) …(08海南)已知曲线C1:,曲线C2:。(1)指出C1,C2各是什么曲线,并说明C1与C2公共点的个数;(2)若把C1,C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲