一维径向流数值模拟.doc

一维径向单相流数学模型对于单井问题,通常将井底周围的流动看作一维径向流,此时最典型的特点是井底周围的流量大、压力变化快,而远离井底处流量小、压力变化小,因此采用不等距网格。为模拟一维径向单相流,首先要恰当的建立其数学模型,模型的假设如下:一维径向流动;单相流体且微可压缩;不考虑岩石的压缩性(即岩石不可压缩,∅=常数);油藏是均质的,即k,∅为常数,流体粘度μ也为一常数。不考虑重力的影响。根据质量守恒原理建立的柱坐标系下单相流的数学模型为: (1-1)当只存在径向渗流时,一维径向单相流的数学模型可简化为: (1-2)考虑均质油藏、流体微可压缩、岩石不可压缩,上述数学模型可简化为: (1-3)假设k,∅,μ均为常数,则上述方程可简化为: (1-4)方程为(1-4)即为所求的一维径向单相流的数学模型。方程中的未知量为p(r,t),通过求解可得沿径向上各点的压力分布及其随时间的变化。初始条件为: P(r,0)=pi(rw≤r≤re) (1-5)边界条件包括外边界和内边界。相应的外边界条件如下:外边界:封闭外边界: (1-6)定压外边界: (1-7)内边界:定产内边界: (1-8)定流压内边界: (1-9)式中,r-径向半径,cm;rw-井底半径,cm;re-边界半径,cm;p-油藏中各点的压力,10-1MPa;pi-初始油藏压力,10-1MPa;pwf-井底流压,10-1MPa;t-时间,s;∅-孔隙度,小数;k-渗透率,μm2;C-流体的压缩系数,1/MPa;μ-流体粘度,mPa∙s;h-油层厚度,cm;Q-井的产量,cm3/s;渗流微分方程(1-4)与初始条件、边界条件一起,构成了一维径向单相流问题完整的数学模型。通过求解可得在各种不同的内、外边界条件下,地层中各点的压力分布,以及井底流压pwf或产量。差分方程的建立为适应一维径向流井底压力变化快、远离井底附近压力变化慢的特点,网格划分采用不等距网格,即井底附近网格划分密一些,远离井底要疏一些。在此选取等比级数网格,即: (2-1)于是: (2-2)这样实现了井底附近网格小,而远离井底处网格压大的问题。对方程(1-4)左端项进行差分,进行一系列的变换处理,可得: (2-3)上述差分格式中,由于在井底附近ri较小,则很大,因此易造成计算的不稳定,故应将空间坐标做适当的变换,即将一维的径向坐标转换为直角坐标。为把一维径向坐标r转换为直角坐标x,需要找到r与x的对应关系。由式(2-2)可得: (2-4)令 则: (2-5)于是,我们将不等距的r坐标转换成了等距离的x坐标。两种坐标之间的对应关系如图1所示。图1不等距r坐标与等距x坐标之间的转换已知rw,re和网格数n时,可以求出转换后的网格大小∆x。由可得: (2-6)由式(2-5)可看出,r与x之间的对应关系为: (2-7)于是: (2-8)而为方程的特解,因此数学模型(1-4)的左端项可化为: (2-9)于是数学模型(2-4)可转换为: (2-10)将式(2-8)代入上式,得: (2-11)通过上述过程,将不等距的径向坐标r转换成了等距离的x坐标,而且将数学模型中的微分方程也进行了坐标转换。下面用隐式差分格式对转换为等距离x左边的微分方程(2-11)进行差分求解。方程(2-11)的隐式差分方程为: (2-12)令(2-13)则式(2-12)为: (2-14)令则: (2-15)式(2-15)即为一维径向流时的差分方程表达式。当i和∆x确定以后,根据上式用追赶法解三对角方程矩阵方程(也可直接求解),即可确定任一半径处的压力分布。一维径向单相流模拟事例模拟条件与要求已知井径rw=,外径re=250m,流体粘度μ=1mPa∙s,厚度h=5m,渗透率k=,孔隙度∅=,综合压缩系数C=5×10-3MPa-1,原始压力pi=10MPa,最大模拟时间tmax=360d,时间步∆t=30d,网格数n=|r=re=10MPa,内边界定产Q=15m3/d。求各点网格点在不同时刻的压力分布,并绘图表示t=90,180,270,360d时各网格点的压力沿径向的分布情况。,可知本事例采用外边界定压,内边界定产的边界条件,该类边界条件一般形式为: (3-1)下面主要构建在上述边界条件下,方程(2-15)对应于i=0到n的各个网格所构成的线性代数方程组。当i=0时,即内边界处,首先将内边界条件转换为x坐标。转换式如下: (3-2)上式的差分方程为: (3-3)令,则方程(3-3)可简化为: (3-4)当i=1到n-2时,按方程(2-15)列方程。当i=n-1时,由式(2-15)可得: (3-5)当i=n时,pn=pe已知,因此只需要求第0到n-1个网格点的压力。如上所示,列出i=0