北京大学数学分析考研试题及解答.doc

判断无穷积分的收敛性。解根据不等式,得到,;从而绝对收敛,因而收敛,再根据是条件收敛的,由,可知积分收敛,且易知是是条件收敛的。,是的实根,求证:,且。证明(1)任意,当时,有;当且充分大时,有,所以的根存在,又,严格递增,所以根唯一,。任意,,所以的根,()。因为若时,的根,不趋向于。则存在,使得中含有的一个无穷子列,从而存在收敛子列,(为某有限数);,矛盾。例、设,讨论级数的收敛性。解显然当时,级数发散;由,得,(充分小),于是,(充分大)当时,,收敛,收敛,,收敛,绝对收敛;当时,收敛,收敛,于是收敛,从而收敛,收敛,而发散,由,得发散,所以发散,故此时条件收敛。当时,发散,而收敛,此时发散。北京大学2007年数学分析考研试题及解答1、用有限覆盖定理证明连续函数的介值定理。证明这里只证明连续函数的零点定理,由此即可推证介值定理。命题:若在上连续,且,那么必然存在一点,满足。采用反正法,若对于任意点,有,那么显然对于任意,仍然有。由于的连续性,我们对于任意一点,可以找到一个邻域,使得在中保号,那么区间被以上形式的,开区间族所覆盖,由有限覆盖定理,可得存在有限个开区间就能覆盖闭区间,再由覆盖定理的加强形式可得,存在,满足当,时,存在中的某个开集同时覆盖。那么我们就证明了当时,有同号;现取正整数,满足,令,,那么我们有,与同号,从而证明了与同号,即与同号,这与题目中的矛盾,证明完毕。2、设在有限区间内一致连续,证明:也在内一致连续。证明首先证明都在上有界,因为在有限区间内一致连续,从而存在,满足当此,时,有,现取正整数,满足,令,;对任意,存在,使得,,即得在上是有界的;同理在上也是有界的;下面证明,若在区间上有界,且都一致连续,则在区间上一致连续。设,满足,;那么由得一致连续性得到,对于任意,存在,使得当,时,有,从而,即得在上一致连续。3、已知在上有四阶导数,且有,证明:存在,使得。证明不妨设(这是因为否则可以考虑,而的三、四阶导数与的相同)。从而我们要证明存在,使得。下面分两种情形来证明之,(1),当,由带Peano余项的Taylor展开式,我们得到,那么在足够小的邻域内有,取,满足,不妨设,由于,那么存在,使得,从而取,;当时,同理可得;(2),那么有,,可以同样Taylor展开,,做法与(1)相同,证毕。4、构造一个函数在上无穷次可微,且,,并说明满足条件的函数有任意多个。解构造函数项级数,显然此幂级数的收敛半径为,从而可以定义函数:,容易验证此函数满足:,,考虑到函数,由我们熟知的结论知,在上无穷次可微,且,,对任意在上无穷次可微的函数,从而也满足题目要求条件,结论得证。5、设,是上的连续函数,证明满足的点有无穷多个。证明设,。那么我们有,,,下面分两种情况讨论:若或有一个成立时,当,我们有,,从而有,,从而为常数,此时结论显然成立;当时,我们有,,从而为常数,此时结论显然成立;(2)我们可以选取无穷多条连接和的不相交的连续曲线,;显然连续,,由连续函数的介值定理,存在,,使得,即,结论得证。6、求,其中是,方向向上。解法1设,,;;。解法2记,,利用高斯公式,得。7、设是上的连续函数,试作一无界区域,使在上的广义积分收敛。解首先取,使得,满足;再选取,使得,满足;依次选取,使得,满足