定积分基本计算公式-定积分的计算公式.ppt

孝§∫(x)在区间[a,b]上连续,并且设x为a,b上的一点,考察定积分∫nf(x)dx=Jf(t)d如果上限x在区间a,b]上任意变动,则对于每一个取定的x值,定积分有一个对应值,所以它在a,b]上定义了一个函数,记@(x)=JJ()dt,积分上限函数定理1如果∫(x)在a,b上连续,则积分上限的函数Φ(x)=「f(tx在a,b上具有导数,且它的导证(x+△x)=f么数是(x)=.Jf(Mt=∫(a≤x≤b)△Φ=Φ(x+△x)-Φ(x)f(txdt-f(t]dtx+△xb=f(tdt+.f(tXdt-f(yt由积分中值定理得o(r)xEx+△xbx△Φ=∫(5)△x,4在x与x+△x之间△①=∫(),lim=limf(5△x△x→0,5→xΦ'(x)=∫(x).补充如果∫(t)连续,a(x)、b(x)可导,则F(x=m((M的导数F(x)为db(x)F'(x)dxf(d=∫[b(x)]b(x)-∫[a(x)lb(x)证:F(丿f(t)db(x(x)f(tdtF'(x)=f[b(x)]o'(x)-fla(x)]a'(x)孝例1求lim=cos0分析:这是型不定式,应用洛必达法则解∫CosJ(cosx)’=smx·∫(x)在(-∞,+∞)内连续,且∫(x)>(x)=f(t)ht在(0,+∞)内为单调增「n∫()d加函数d证tf(t)dtrf(x)dtJ。f()d=f(x),xf(x)Jn∫()dt-J∫(x)Jmf(t)dF'(x)=f(t)dt孝f(rl(r-t)f(t)F'(x)=f(t)dt∫(x)>0,(x>0)∴:「∫(t)lt>0,(x-D)∫()>0,:J(x-1)∫()>0,F'(x)>0(x>0)故F(x)在(0,+∞)内为单调增加函数例3设∫(x)在[0,1上连续,且∫(x)<1证明2x-。f(M=1在[0,1只有一个解证令F(x)=2x-「f(t)r-1f(x)<1,∴F'(x)=2-∫(x)>0,F(x)在0,1上为单调增加函数F(0)=-1<0,F(1)=1-「∫()at=「m1-f()at>0,所以F(x)=0即原方程在[0,1](x)是连续函数∫(x)在区间a,b]上的一个原函数,则f(xddx=f(b)-F(a).证∵已知F(x)是f(x)的一个原函数,又;(x)=J(M也是f(x)的一个原函数,F(x)-①(x)=Cx∈[a,b孝令x=a→F(a)-Φ(a)=C,:Φ(a)=「f(txdt=0F(a)=C,F(x)-[∫(Mt=C,∴[∫(tdt=F(x)-F(a),令x=b→∫∫(x=F(b)-F(a)