首届全国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答(非数学类).pdf

首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答

(非数学类,2009)


考试形式: 闭卷考试时间: 120 分钟满分: 100 分.



题号一二三四五六七八总分
专业:
满分 20 5 15 15 10 10 15 10 100

得分
注意:1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边,写在其它纸上一律无效.

2、密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记.

线

年级: 一、填空题(每小题 5 分,共 20 分).
得分

⎛ y ⎞
(x + y)ln⎜1+ ⎟
评阅人 x
(1)计算⎝⎠dxdy =_____________,其中
∫∫D
封 1− x − y

区域 D 由直线 x + y = 1与两坐标轴所围三角形区域.

2
2
( 2 )设 f ()x 是连续函数,满足 fx()=− 3 x fxdx () − 2,则
∫0
所在院校:
密
f ()x =___________________.

x2
( 3 ) 曲面 zy=+−2 2 平行平面 22xyz+ −= 0 的切平面方程是
2


________________________.
(4)设函数 yyx= ()由方程 xefy()= e yln 29 确定,其中 f 具有二阶导数,
身份证号:
dy2
且 f ′≠ 1,则=____________________.
dx2


16 10 [1−−f ′(yfy )]2 ′′( )
答案: ,3x2 −, 22xyz+ −−= 50, −.
15 3 xfy23[1−′( )]


姓名:
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得分 eexx+++2
e nxe
二、(5 分)求极限 lim( ) x ,其中 n 是给定
x→0 n
评阅人
的正整数.
eeexx+++2
e nx
解:原式= lim exp{ ln( )}
x→0 xn
eee(ln(xx+++−2
e nx ) ln n )
= exp{lim } ………………….….…(2 分)
x→0 x
0
其中大括号内的极限是型未定式,由 L′ Hospital 法则,有
0
eee(ln(xx+++−2
e nx ) ln n ) ee(2x +++ exnx
ne )
lim = lim
x→0 x x→0 eexx+++2
e nx
enn(1++ 2
+ ) + 1
==()e
n 2
n+1
()e
于是原式= e 2 . ……………………………………..…………..…(5 分)

1
得分三、(15 分)设函数 f ()x 连续, gx()= f ( xtdt ) ,且
∫0
fx()
评阅人 lim = A ,A 为常数,求 gx′()并讨论 gx′()
x→0 x
在 x = 0 处的连续性.

解:由题设,知 f (0)= 0 , g(