最小二乘法原理及其科学应用.doc

最小二乘法的原理及其应用研究背景在科学研究中,为了揭示某些相关量之间的关系,找出其规律,往往需要做数据拟合,其常用方法一般有传统的插值法、最佳一致逼近多项式、最佳平方逼近、最小二乘拟合、三角函数逼近、帕德(Pade)逼近等,以及现代的神经网络逼近、模糊逼近、支持向量机函数逼近、小波理论等。其中,最小二乘法是一种最基本、最重要的计算技巧与方法。它在建模中有着广泛的应用,用这一理论解决讨论问题简明、清晰,特别在大量数据分析的研究中具有十分重要的作用和地位。随着最小二乘理论不断的完善,其基本理论与应用已经成为一个不容忽视的研究课题。本文着重讨论最小二乘法在化学生产以及系统识别中的应用。最小二乘法的原理人们对由某一变量t或多个变量t1…..tn 构成的相关变量y感兴趣。如弹簧的形变与所用的力相关,一个企业的盈利与其营业额,投资收益和原始资本有关。为了得到这些变量同y之间的关系,便用不相关变量去构建y,使用如下函数模型,q个相关变量或p个附加的相关变量去拟和。通常人们将一个可能的、对不相关变量t的构成都无困难的函数类型充作函数模型(如抛物线函数或指数函数)。参数x是为了使所选择的函数模型同观测值y相匹配。(如在测量弹簧形变时,必须将所用的力与弹簧的膨胀系数联系起来)。其目标是合适地选择参数,使函数模型最好的拟合观测值。一般情况下,观测值远多于所选择的参数。其次的问题是怎样判断不同拟合的质量。高斯和勒让德的方法是,假设测量误差的平均值为0。令每一个测量误差对应一个变量并与其它测量误差不相关(随机无关)。人们假设,在测量误差中绝对不含系统误差,它们应该是纯偶然误差,围绕真值波动。除此之外,测量误差符合正态分布,这保证了偏差值在最后的结果y上忽略不计。确定拟合的标准应该被重视,并小心选择,较大误差的测量值应被赋予较小的权。并建立如下规则:被选择的参数,应该使算出的函数曲线与观测值之差的平方和最小。用函数表示为:用欧几里得度量表达为:最小化问题的精度,依赖于所选择的函数模型。最小二乘法的应用(1)最小二乘法在化学生产中的应用:蔗糖的水解反应的实验该实验的目的是测定蔗糖转化的反应级数、速率常数。实验中测出一组旋光度和时间,判断反应级数和计算出速率常数。若呈线性关系,为一级反应,若呈线性关系,为二级反应,若呈线性关系,为三级反应。该实验应是一级反应,但由于用目测法手工作图,由于误差的原因,有时会得出一级或二级均可以的奇怪结论,所以在以往的实验中把该反应级数作为已知条件,只要求学生求出速率常数。而用线性最小二乘法拟合曲线,在计算机上处理,即可得出满意的结论。原理是,先用线性最小二乘法对曲线进行高次拟合,从曲线上读取等间隔时间时的,作数据匀整,改进数据的离散性,然后进行直线拟合,拟合偏差最小者为该反应的反应级数。表1为某学生的实验数据,输入计算机后,进行高次拟合,并进行数据修匀,得到表2数据。本次拟合次数为7,,表示拟合较好。表1蔗糖水解反应实验数据温度:20℃气压:101325PaHCl浓度:3M时间t/--.-0