向量代数与空间解析几何.ppt

第九章向量代数与空间解析几何
第一节空间直角坐标系与向量的概念
第二节向量的点积和叉积
第三节平面与直线
第四节曲面与空间曲线
第一节空间直角坐标系与向量的概念
一、空间直角坐标系

在空间中过定点作三条互相垂直且有相同长度单位的数
轴、和,分别称为轴、轴和轴,
也称为横轴、纵轴和竖轴,统称为坐标轴面上,它们的
正方向按右手螺旋法则确定(如图8-1),
点为坐标原点。这样就构成了空间直角坐标系。
任意两个坐标轴确定一个平面,称为坐标面,它们是
、和坐标面,三个坐标面把空间分成八个部分,
每一部分称为一个卦限,共有八个卦限,其顺序如图8-2所示。

我们来建立点与有序数组的对应关系。
设为空间的任意一点,过点作垂直于
坐标面的直线,其垂足为,过分
别作与轴、轴垂直且相交的直线,过作与轴垂直且相交
的直线,依次得轴上的三个垂足M、N、R。设分别
是M、N、R点在数轴上的坐标。这样空间內任一点就确定了唯
一的一个有序数组,用表示之。
反之,任给一个有序数组,它们分别在
上对应点 M,N 和 R。过M 、N并在坐标面内分别作轴
和轴的垂线,交于点;过作坐标面的垂线,过R
作的垂直相交线得交点。这样一个有序数组就确定了空
间内唯一的一个点,而恰好是点的坐标。
根据上面的法则,我们建立了空间一点与一个
有序数组之间的一一对应关系。
有序数组称为点的坐标(如图8-3),
而分别称为坐标, 坐标和坐标。
根据点的坐标的规定,可知点在轴上,点在
坐标面上,而点在坐标面上。
二、向量的基本概念及其线性运算

(1).向量和数量
量可分为两种:数量(或标量)—只有大小、没有方向;
向量(或矢量)—不仅有大小还有方向。
(2).向量的表示
用黑体小写字母表示向量,如, , 等,有时为了书写方便
也用等表示。几何上用有向线段表示,起点为、终
点为的向量记为(见图8-4)。
(3).向量的模
向量的大小称为向量的模,用等表示(即有向线
段的长度)。
特别地,模为1的向量称为单位向量;模为零的向量称为零向量
,记为。规定零向量的方向为任意方向。
(4).自由向量、平行向量、相等向量、逆向量
约定:我们所讨论的向量与起点无关,在保持长度和方向不变
的条件下可以自由平移,这种向量称为自由向量。
方向相同或相反的两个向量和称为平行向量,记为: ∥;
把模相等且方向相同的两个向量和称为相等向量,记为:
;
把与向量的模相等但方向相反的向量称为的逆向量,记为:
。

(1).向量的加法
向量、的和是以、为邻边的平行四边形的对
角线向量,记作。
这种用平行四边形对角线求两向量和的方法称为
平行四边形法则。
由图8-5可知, ,所以又有,即以第一个向量
的终点为起点,做第二个向量,连接,则就是
与的和,并称这种求和方法为三角形法则。该法则可以
推广到多个向量的求和。
例如求向量的和时,可将它们平行移动,使其首尾相接
,然后以第一个向量的起点为起点,以最后一个向量的终点为
终点做向量即为三向量的和,如图8-6。
向量的加法满足如下运算规律:
①(交换律);
②(结合律);
③;
④。
(2).向量的减法
向量的减法可作为加法的逆运算:如果,则。
将与平移使它们的起点重合,则由的终点到的终点作
一向量(方向指向被减向量)就是(见图8-7)。
(3).数与向量的乘积
定义:设为一实数,向量与数的乘积是一个向量,记作
,并且规定:
①;
②当时: 与同向;当时: 与反向;
③当时, (零向量)。
数与向量的乘积是一种新的运算,常称为数乘向量,其结果为
一新向量;数乘向量满足如下的运算规律( 为实数):
(结合律);
(对数的加法的分配律);
(对向量的加法的分配律)。
有了数乘向量,便容易表示出向量的单位向量:
把与向量同向且模为1的向量称为的单位向量,记为,