初中数学竞赛试题及答案(1995).doc

1995年全国初中数学联赛试题第一试一、=355,b=444,c=533,则有[]<b<c <b<<a<b <c< (x-1)(x2-2x-m)=0的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么实数m的取值范围是 、39、52与60的四边形内接于一圆,那么此圆的周长为 [] ⊙O的一条弦,CD是⊙O的直径,且与弦AB相交,记M=|S△CAB-S△DAB|,N=2S△OAB,则 []>=<、、b满足不等式||a|-(a+b)|<|a-|a+b||,则[]>0且b>0 <0且b>>0且b<0 <0且b<0二、,22,32…,952这95个数中,十位数字为奇数的数共有____个。,圆心为O,C是半圆周上的点,且OC2=AC·BC,则∠CAB=∠ACE=∠CDE=90°,点B在CE上,CA=CB=CD,经A、C、D三点的圆交AB于F(如图)求证F为△CDE的内心。二、在坐标平面上,纵坐标与横坐标都是整数理由。三、试证:每个大于6的自然数n,都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。1995年全国初中数学联赛参考答案第一试一、:这类指数幂的比较大小问题,通常是化为同底然后比较指数,或化为同指数然后比较底数,本题是化为同指数,有c=(53)11=12511<24311=(35)11=a<25611=(44)11=b。选C。利用lg2=,lg3=、lgb、lgc也可以,但没有优越性。:这类方程是熟知的。先由第二个方程确定z=1,进而可求出两个解:(2,21,1)、(20,3,1).也可以不解方程组直接判断:因为x≠y(否则不是正整数),故方程组①或无解或有两个解,对照选择支,选B。:显然,方程的一个根为1,另两根之和为x1+x2=2>1。三根能作为一个三角形的三边,须且只须|x1-x2|<1又有0≤4-4m<:四个选择支表明,圆的周长存在且唯一,+AD2=252+602=52×(52+122)=52×132=(32+42)×132=392+522=BC2+CD2故可取BD=65为直径,得周长为65π,:此题的得分率最高,但并不表明此题最容易,,则M=N=0,,这只能排除A、C,,设CE≥ED,在CE上取CF=ED,则有OF=OE,且S△ACE-S△ADE=S△AEF=2S△,S△BCE-S△BDE=2S△,得S△ABC-S△DAB=2S△OAB,即M=、D、O分别作AB的垂线(图3),CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB,垂足分别为E、F、、DE,,:梯形对角线中点的连线平行底边,并且等于两底差的一半,有|CE-DF|==:取a=-1、b=2可否定A、C、D,,对已知不等式平方,有|a|(a+b)>a|a+b|.显然|a||(a+b)|>0(若等于0,则与上式矛盾),有两边都只能取1或-1,故只有1>-1,即有a<0且a+b>0,从而b>-a>、:本题虽然以计算为载体,,22,…,102,知十位数字为奇数的只有42=16,62=,对两位数10a+b,有(10a+b)2=20a(5a+b)+,故两位数的平方中,也中有b=4或6时,其十位数字才会为奇数,问题转化为,在1,2,…,95中个位数出现了几次4或6,有2×9+1=:这类问题一般都先化简后代值,直接把a学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确,最后又不会将a2+,抓住这一点,,由①有由②-①,得由③-②并将④代入,得还可由①得⑥÷⑤:这个题目是将二次函数y=x2-x与反比例函数因而x=1时,:此题由笔者提供,原题是求sin∠CAB,让初中生用代数、几何相结合的方法求特殊角的三角函数值sin75°、sin15°.解法如下:与AB2=AB2+AC2 ②联立,可推出而式①、③表明,AB、AC是二次方程