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平面几何中的向量方法
教学目的:让学生经历用向量方法解决几何问题的过程,体会向量是一种处理几何问
题的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力。
教学重点:向量方法在几何问题中的应用。
教学难点:例2的教学及其方法是本课的难点。
教学过程
一、复****提问
平面向量的坐标表示、模、夹角公式是什么?
二、新课
例1、平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型,如图,=+,=-,你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗?
解:设=,=,则
=+,=-
||2=(+)2=||2+2•+||2
||2=(-)2=||2-2•+||2
||2+||2=2(||2+||2)
=2(||2+||2)
即平行四边形的两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的2倍。
注意:在解决有关长度的问题时,我们常常要考虑向量的数量积。平面几何中的许多
性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出
来,困此,可以用向量的方法解决平面几何中的一些问题。
例2、如图,平行四边形ABCD中,点E、F分别为AD、DC的中点,BE、CF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗?
分析:由R、T是对角线上的两点,要判断AR、RT、TC之间的关系,只需判断
AR、RT、TC与AC之间的关系即可。
解:设=,=,则
=+,=-
设=n,=m
因为
所以 n=+m
即 n(+)=+m(-)
整理,得:(n-m)+(n+)=0
由于、不共线,故有
,解得:
所以,设=
同理,=,于是,=
所以,有AR=RT=TC
作业:P125 1、2 P131 12、13