极坐标系与参数方程(高考题和模拟题汇编).docx

îy=  ρsinθ;   îtanθ=  yx(x≠0).一般地,不作特殊说明时,我们认为 ρ≥0,θ  M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为:              ìx=  ρcosθ, ìρ2=  x2+y2,í í(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的方程为 y=k|x|+,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcosθ-3=0.(1)求 C2 的直角坐标方程;(2)若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点,求 C1  (1)由 x=ρcosθ,y=ρsinθ,得 C2 的直角坐标方程为(x+1)2+y2=,C  是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线,曲线 C  的方程为 y=í                 记 y 轴右边的射线为 l ,y 轴左边的射线为 l .由于 B 在圆 C  的ïî-kx+2,x<,故 C  与 C  有且仅有三个公共点等价于 l  与 C  只有一个公共点且 l  与 C有两个公共点,或 l  与 C  只有一个公共点且 l  与 C  有两个公共点.(2)由(1)知 C2 是圆心为 A(-1,0),半径为 2  1ìïkx+2,x≥0,1 2 21 2 1 2 2 22 2 1 2当 l  与 C  只有一个公共点时,A 到 l  所在直线的距离为 2,所以k2+11 2 1|-k+2|=2,故k=-3或 k=,当 k=0 时,l  与 C  没有公共点;当 k=-  时,l  与 C  只有一个公共3点,l  与 C   2 1 22 2当 l  与 C  只有一个公共点时,A 到 l  所在直线的距离为 2,所以2 2 2|k+2|k2+1=2,故经检验,当 k=0 时,l  与 C  没有公共点;当 k=  时,l  与 C  ,所求 C  的方程为 y=-  |x|+=0 或 k= 2 2 241条件探究 把举列说明中曲线 C1 的极坐标方程改为“θ=α(0≤α≤2π)”,曲线C2 的极坐标方程改为“ρ2-2ρcosθ-2 3ρsinθ+3=0”,若 C1 与 C2 有且仅有两个公共点,求 α  由 x=ρcosθ,y=ρsinθ 得曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+y2-2x-2 3y+3=0,由题意知 α≠  ,可设曲线 C  的直角坐标方程为 y=kx,k=tanα,即(x-1)2+(y- 3)2=1,π21当曲线 C  与曲线 C  相切时,1 2|k- 3|k2+12 =1,3  ,即 tanα=3  ,解得 k=3            3又 0≤α≤2π,所以 α=  .结合图形可知,若 C  与 C  有且仅有两个公共点,则α∈ç6æπ,πö(1)当 x≠0 时,θ 角才能由 tanθ=;当 x=0,y>0 时,可取 θ=  ;当 x=0,y<0 时,可取 θ=例  O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ=2,ρ2-2   2ρcosçθ-4÷= 2øè 2÷.(1)直角坐标方程化为极坐标方程:将公式 x=ρcosθ 及 y=ρsinθ 直接代入直角坐标方程并化简即可.(2)极坐标方程化为直角坐标方程:通过变形,构造出形如 ρcosθ,ρsinθ,ρ2 的形式,(或同除以)ρ  tanθ 确定角 θ 时,应根据点 P (2)当 x=0 时,tanθ 没有意义,这时可分三种情况处理:当 x=0,y=0 时,θ 可π 3π2 2.æ πöè ø(1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2) (1)由 ρ=2 知 ρ2=4,所以圆 O1 的直角坐标方程为 x2+y2= ρ2-2 2ρcosçθ-4÷=2,所以 ρ2-2   2ρæçcosθcos  +sinθsin  ö÷=2,所以圆 O  的直角坐标方程为 x2+y2-2x-2y-2=0.æ πöè øπ πè 4 4ø2(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为 x+y=1,化为极坐标方程为 ρcosθ+ρsinθ=1,即 ρsinæçθ+  ö÷=