对二面角的平面角定义合理性的探究.doc

对二面角的平面角定义合理性的探究*谢林重庆复旦中学王跃辉重庆市渝中区教师进修学院1问题的提出人教A版教材《必修2》对二面角的平面角是这样定义的:“在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直于棱的射线和,则射线和构成的叫做二面角的平面角.”并在定义旁边以思考题“的大小与点在上的位置有关吗?为什么?”的方式让学生通过探究知道这样定义的二面角的平面角具有唯一性,,学生在探究中发现“当射线、与棱不垂直时,虽然、的作法不唯一,但是当射线、向同一个方向(或朝相反方向)倾斜时(如),的大小与点在上的位置也是无关的.”于是,学生提出教材为什么要这样定义二面角的平面角呢?为了解决学生的这种疑问,许多教师对二面角的平面角的定义合理性进行了研究,具有代表性的看法有如下两种:文[1]认为教材的处理方式符合便于作出和便于计算的简洁、方便原则,文[2]认为这样定义的角具有最值性,并给出了如下结论:对于给定的二面角,若在半平面和内分别取射线、,使它们与棱所成角分别为,且,则有:(1)当时,与的大小关系不能确定;(2)如图1,当时,若、在面的同侧,则;(3)如图2,当时,若、在面的异侧,[1]、[2]可以发现,它们都是从线线角的角度对定义合理性进行探究,笔者认为其合理性还可以从线面角的角度探究出最值性,,,过点作直线于,因为,,所以平面,所以,故平面,于是射线与平面所成的角是(或其补角).当二面角为锐角时,射线与平面所成的角就是.*该探究系重庆市十二五规划课题《普通高中数学新课程下说题教学策略实验研究》的研究成果之一如图4,设二面角为锐角,,过棱上任一点作不垂直于棱的射线,,所以,,当二面角为锐角时,,当二面角为直角或钝角时,,也是二面角的一个截面,,截面对几何图形的认识有着重要意义,比如人们最早是从圆柱的斜截面中发现椭圆图形,,又会怎样呢?3从截面的角度探究如图5,过棱上任意一点作的垂面,则,,因为,所以且,,且的大小不随垂面的平移而改变,,垂面法也可以给出二面角的平面角的定义,并且这种定义可以告诉学生二面角的平面角总是在棱的垂面中,(即与棱所成角为锐角),类似垂面的方式产生的可以用来度量二面角的大小吗?答案是否定的,(比如在正棱锥中,每个侧面与高所成角相等),于是得到的也会有多个,其次多个的大小是确定的吗?显然不是,,设圆柱的底面半径和高都为1,,过点作与