考研数学试题线性代数综述.pdf

2004 考研数学试题线性代数综述中国考研网 制作

2004 年线性代数参考题综述
李永乐
今年线性代数共有 20 个考题,但数学一与数学二有 4 个题完全一样,另一题
n 与 4,而数学三与数学四有
一个题完全一样,实际上有 14 个不同的考题,所涉及的知识点有:
含参数的 3 阶、4 阶及 n 阶行列式的计算,通过矩阵方程转换到抽象行列式的
计算.
矩阵方幂的计算(涉及相似、分块、对角等)、初等矩阵性质的运用、矩阵等
价、AB = 0、正交矩阵几何意义、秩的概念与性质.
含参数向量的线性表出、由矩阵秩判断向量组线性相类.
齐次、非齐次线性方程组求通解、解的性质的运用、基础解系中向量个数的
判定与求法.
求矩阵的特征值与特征向量、相似对角化的判定与计算、实对称矩阵特征值
性质、由特征向量反求矩阵 A.
二次型的秩
纵观 04 年考题,难度上比 03 年略有下降,要重视对基本概念、基本方法及
原理的考核,注重知识点的衔接与转换,
问题看,有些同学复习备考不扎实、有动手晚仓猝上阵之嫌,有的考生计算能力
实在太差,基本计算错误屈层出不穷,也有些同学在概念、原理的理解上有偏差,
逻辑推理不严谨,…….下面通过对几个考题的分析,希望对 05 年考研同学如何
复习线代能有所帮助.
0 −1 0 

A = 1 0 0 
例1 (04,4)设0 0 −1, B = P −1 AP ,其中 P 为 3 阶可逆矩阵,
则 B 2004 − 2A2 =______________.

[分析] 本题考查 n 阶矩阵方幂的计算.
2
0 −10 −10 −1−1 0 
= = 
因为1 0 1 0 1 0  0 −1
利用分块矩阵的方幂
n
 A 0  An 0 
= 
 n 
 0 B 0 B 

2004 考研数学试题线性代数综述中国考研网 制作
2
0 −1 0 −1 0 0
2 
A = 1 0 0 =  0 −1 0

易知0 0 −1 0 0 1
2004 2 1002
从而 A = (A ) = E
那么,由 B = P −1 AP 有
2 −1 −1 −1 −1 −1 2
B = (P AP)(P AP) = P A(PP )AP = P A P
因此 B 2004 = P −1 A2004 P = P −1EP = E
1 0 0−1 0 03 0 0 
2004 2 
B − 2A = 0 1 0= 2 0 −1 0= 0 3 0 

故0 0 1 0 0 10 0 −1

2 1 0

A = 1 2 0
1 0 0 1* *
例 2 (04, 2 )设矩阵,矩阵B满足ABA =