1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案.docx

.(2011 •宁夏银川一中月考求曲线y=x2与y=x所围成图形的面积,其中正确的是()S= 1(x2—x)= 1(y2—y)dyS= 1(x—x2)= 1(y—y)dy0[答案]B[分析]根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数.[解析]两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x>x2,故函数=x2与y=x所围成图形的面积S=1(x—x2).(2010•山东日照模考a=2xdx,b=2exdx,0c=2sinxdx,贝Ua、b、c的大小0关系是( )<c<<.c<b<<a<b[答案][解析]12xdx=_x2|02=2,b=2exdx=ex|02=e2—1>2,0c=2sinxdx=—0cosx|02=1—cos2€(1,2),•'c<a<.(2010-山东理7)由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积为( )[答案]A1B.—=x2[解析]由 得交点为(0,0),(1,1)•y=x3111S= 1(x2—x3)dx=x3—一x401=03412[点评]图形是由两条曲线围成的时,其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分,请再做下题:(2010•湖南师大附中设点P在曲线y=x2上从原点到A(2,4)移动,如果把由直线OP,直线y=x2及直线x=2所围成的面积分别记作S1,,当S1=S2时,点P的坐标是( )[答案]A[解析]设P(t,t2)(0t3wtw2),贝O直线y=tx,「.S1=t(tx—x2)dx=_;S2=608 t3 4 4 16a—tx)dx=3-2t+&,若S1=S2,则t=3」=0、x=2、y=0和曲线y=x3所围成的图形的面积为( )[答案]Ax4[解析]S= 2x3dx=002=44(2010 •湖南省考试院调研1—1(sinx+1)dx的值为( )+—2cos1[答案]B[解析] i—1(sinx+1)dx=(—cosx+x)|—11=(—cosl+1)—(—cos(—1)—1)==cosx(0wxw2n)与直线1所围成的图形面积是( )A. [答案]A[解析]如右图,S=/02n(tosx)dx=(x—sinx)|02 n=2n.[点评]此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决,但若把积分区间改为n,n,(x)=xt(t—4)dt在[—1,5]上( ),———327,[答案]B[解析]F'(x)x(x=—4),令F'(x)0,=得x1=0,x2=4,7 32 25•F(—1)=— ,F(0)=0,F(4)=——,F(5)=—•••最大值为0,最小值为-孑[点评]一般地,F(x)=x$(t)dt的导数F'(x) (x).0&已知等差数列1{an}的前n项和Sn=2n2+n,函数f(x)=xFt,若f(x)<a3,贝Ux1t的取值范围是( )—B.(0,e21)C.(e—11,e)D.(0,e11)[答案][解析]f(x)=1x—dt=Int|1x=Inx,a3=S3—S2=21—10=11,由Inx<11 得,10<x<.(2010•福建厦门一中如图所示,在一个长为 n,宽为2的矩形OABC内,曲线y=sinx(0wx<nx轴围成如图所示的阴影部分,向矩形 OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的),则所投的点落在阴影部分的概率是Y=M»n^oX123A.—B.—c.—nnn[答案]AnD.—4[解析]由图可知阴影部分是曲边图形,=—cosx|0n=— (coscosG—=2,再根据几何概型的算法易知所求概率 P=S 2 1S矩形OABC=2n=n10.(2010吉林质检函数f(x)=的图象与x轴所围成的图形面2cosx3A.—.—2[答案][解析]面积S—2f(x)dx= 0—2(x+2)dxn+尸02cosxdx=2+2=.(2010-沈阳二十)设函数f(x)=x—[x],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[—]=—2,[]=1,[1]=(x)=—-,f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m,f(x)3与g(x)的图象交点的个数记为 n,则ng(x)dx的值是( )m5C