矩阵初等变换的若干应用.doc

矩阵初等变换的若干应用Someapplicationsofelementarytransformationofmatrix专业:数学与应用数学作者:指导老师:学校二○一摘要本文介绍了矩阵初等变换在高等代数中的一些应用,总结了其在求矩阵和向量组的秩、求逆矩阵、化二次型为标准形、:初等变换;秩;逆矩阵;标准形;矩阵方程;最大公因式AbstractInthispaper,weintroducesomeapplicationsofelementarytransformationofmatrixinalgebra,andsummarizestheapplicationsofelementarytransformationofmatrixintherankofamatrixandvector,theinversematrix,changingquadraticformasthestandardform,:elementarytransformation;rank;inversematrix;standardform;matrixequation;monfactor 目录摘要 IABSTRACT II0引言 11矩阵的初等变换与初等矩阵的基本概念 12用初等变换求矩阵和向量组的秩 23用初等变换法求逆矩阵 34用初等变换化二次型为标准形 45用初等变换求解矩阵方程 ,可逆时线性矩阵方程的解 ,不可逆时线性矩阵方程的解 66用初等变换讨论一元多项式最大公因式的求法 8参考文献 110引言矩阵理论是代数的主要容之一,,,前人已经得出了很多有价值的结论,,矩阵的逆,化二次型为标准形,:(1)对矩阵施以以下三种变换,称为矩阵的初等变换:(i)交换矩阵的两行(列);(ii)以一个非零数乘矩阵的某行(列);(iii)矩阵的某行(列)加上另一行(列)的倍.(2)矩阵的初等变换用如下形式表示:(i)交换矩阵的第行(列)与第行(列):或;(ii)非零常数乘矩阵的第行(列):或;(iii)矩阵的第行(列)加上第行(列)的倍:或.(3)初等矩阵由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵,共3类:(i)——交换的第行与第行(或第列与第列)得到的初等矩阵;(ii)(或)——用数域中的非零数乘的第行(或第列)得到的初等矩阵;(iii)——把的第行的倍加到第行(或第列的倍加到列),且任意一个矩阵均可以经过一系列行初等变换化为梯形矩阵;因此,我们要确定一个矩阵的秩,首先要用行初等变换将其化为梯形矩阵,,,可以把每一向量作为矩阵的一行,从而向量组就转化为了一个矩阵,使求向量组的秩转化成求矩阵的秩,,,,,,构造矩阵,再对进行行初等变换,化为梯形矩阵:因此,矩阵的秩是4,,我们将与并排放到一起,形成一个的矩阵,因为,所以对矩阵作一系列行初等变换,将其左半部分化为单位矩阵,,,.同理,如果是阶可逆矩阵,我们将与并列放到一起,形成一个的矩阵,因为,所以对矩阵作一系列列初等变换,将其上半部分化为单位矩阵,,即为对称矩阵找一个可逆矩阵,使得为对角矩阵,而可逆矩阵可以写成若干个初等矩阵的乘积,所以存在初等矩阵有,:首先,写出二次型的矩阵,构造矩阵,然后对矩阵每进行一次行初等变换后,就对进行一次同样的列初等变换,当矩阵化为对角矩阵时,单位矩阵将化为可逆矩阵,此时,最后得到可逆矩阵和非退化线性变换,,,由上面的初等变换法化二次型为标准形的步骤可知:=,从而非退化线性替