竞赛专题因式分解.docx

竞赛专题:因式分解一、重要公式1、 a2—b2=(a+b)(a—b);an—仁(a—1)(an-1+an-2+an-3+…+a2+a+1)2222、 a2±2ab+b2=(a±b)2;23、 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b);4、 a3+b3=(a+b)(a2—ab+b2);a3—b3=(a—b)(a2+ab+b2);二、因式分解的一般方法及考虑顺序1、基本方法:提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法;2、常用方法与技巧:换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。3、考虑顺序:(1)提公因式法;(2)十字相乘法;(3)公式法;(4)分组分解法;1、添项拆项[例1]因式分解:(1)x4+x2+1; (2)a3+b3+c3—3abc分析:x4+1若添上2x2可配成完全平方公式解:x4+x2+1=x4+2x2+1—x2=(x2+1)2—x2=(x2+1+2x)(x2+1—x)分析:a3+b3要配成(a+b))应添上两项3a2b+3ab2解:a+b+c—3abc=a+3ab+3ab+b+c—3abc—3a2b—3ab2=(a +b)3+c3—3ab(a+b+c)22=(a +b+c)[(a+b)2—(a+b)c+c2]—3ab(a+b+c)222=(a +b+c)(a+b+c—ab—ac—bc)[例2]因式分解:(1)x3—11x+20; (2)a5+a+1(1)分析:把中项—11x拆成—16x+5x分别与x5,20组成两组,则有公因式可提。(注意这里16是完全平方数)解:X3—11x+20=X3—16x+5x+20=X(X2—16)+5(x+4)2=x(x+4)(x—4)+5(x+4)=(x+4)(x—4x+5)(2)分析:添上一a2和a2两项,分别与a5和a+1组成两组,正好可以用立方差公式解:a5+a+1=a5—a2+a2+a+1=a2(a3—1)+a2+a+1=a2(a—1)(a2+a+1)+a2+a+1=(a2+a+1)(a3—a2+1)2、待定系数法[例3]因式分解2x2+3xy—9y2+14x—3y+20解:T2x2+3xy—9y2=(2x—3y)(x+3y),故用待定系数法,可设2x+3xy—9y+14x—3y+20=(2x—3y+a)(x+3y+b),其中a,b是待定的系数,比较右边和左边的 x和y两项的系数,得a2b143a3b3解得22--2x+3xy—9y+14x—3y+20=(2x—3y+4)(x+3y+5)[另解]原式=2x+(3y+14)x—(9y+3y—20),这是关于x的二次三项式常数项可分解为—(3y—4)(3y+5),用待定系数法, t 2 2可设2x+(3y+14)x—(9y+3y—20)=[mx—(3y—4)][nx+(3y+5)]比较左、右两边的x2和x项的系数,得m=2,n=122--2x+3xy—9y+14x—3y+20=(2x—3y+4)(x+3y+5)三、重点定理1、余式定理:整系数多项式f(x)除以(x-a)商为q(x),余式为r,则f(x)=(x-a)q(x)+r。当一个多项式f(x)除以(x-a)时,所得的余数等于f(a)例如:当f(x)=x^2+x+2除以(x-1)时,则余数二f(1)=1八2+1+2=4。2、因式定理:即为余式定理的推论之一:如果多项式f(a)=0,那么