竞赛专题-因式分解.doc

:..竞赛专题:因式分解一、重要公式1、a2-b2=(a+b)(a-b);an-1=(a-1)(an-1+an-2+an-3+…+a2+a+1)2、a2±2ab+b2=(a±b)2;3、x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b);4、a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);二、因式分解的一般方法及考虑顺序1、基本方法:提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法;2、常用方法与技巧:换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。3、考虑顺序:(1)提公因式法;(2)十字相乘法;(3)公式法;(4)分组分解法;1、添项拆项[例1]因式分解:(1)x4+x2+1; (2)a3+b3+c3-3abc(1)分析:x4+1若添上2x2可配成完全平方公式解:x4+x2+1=x4+2x2+1-x2=(x2+1)2-x2=(x2+1+x)(x2+1-x)(2)分析:a3+b3要配成(a+b)3应添上两项3a2b+3ab2解:a3+b3+c3-3abc=a3+3a2b+3ab2+b3+c3-3abc-3a2b-3ab2 =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)[例2]因式分解:(1)x3-11x+20;(2)a5+a+1(1)分析:把中项-11x拆成-16x+5x分别与x5,20组成两组,则有公因式可提。(注意这里16是完全平方数)解:x3-11x+20=x3-16x+5x+20=x(x2-16)+5(x+4)=x(x+4)(x-4)+5(x+4)=(x+4)(x2-4x+5)(2)分析:添上-a2和a2两项,分别与a5和a+1组成两组,正好可以用立方差公式解:a5+a+1=a5-a2+a2+a+1=a2(a3-1)+a2+a+1=a2(a-1)(a2+a+1)+a2+a+1=(a2+a+1)(a3-a2+1)2、待定系数法[例3]因式分解2x2+3xy-9y2+14x-3y+20解:∵2x2+3xy-9y2=(2x-3y)(x+3y),故用待定系数法,可设2x2+3xy-9y2+14x-3y+20=(2x-3y+a)(x+3y+b),其中a,b是待定的系数,比较右边和左边的x和y两项的系数,得解得∴2x2+3xy-9y2+14x-3y+20=(2x-3y+4)(x+3y+5)[另解]原式=2x2+(3y+14)x-(9y2+3y-20),这是关于x的二次三项式常数项可分解为-(3y-4)(3y+5),用待定系数法,可设2x2+(3y+14)x-(9y2+3y-20)=[mx-(3y-4)][nx+(3y+5)]比较左、右两边的x2和x项的系数,得m=2,n=1∴2x2+3xy-9y2+14x-3y+20=(2x-3y+4)(x+3y+5)、余式定理:整系数多项式f(x)除以(x-a)商为q(x),余式为r,则f(x)=(x-a)q(x)+r。当一个多项式f(x)除以(x–a)时,所得的余数等于f(a)。例如:当f(x)=x^2+x+2除以(x–1)时,则余数=f(1)=1^2+