幂函数的和函数课题研究.ppt

幂级数的和函数课题研究小组成员:1研究课题:无穷级数研究目的:更加全面地地了解无穷级数,掌握无穷级数的相关知识。侧重点:求幂级数的和函数。关键词:常数项级数、函数项级数、幂级数、收敛、发散、和函数。2一、背景级数是高等数学体系的重要组成部分,它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”,其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆,从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法,即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦,他首先发展了幂级数的概念,对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时,他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪,高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则,使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀,清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今,级数的理论已经发展的相当丰富和完整,在工程实践中有着广泛的应用,级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。3二、无穷级数课本知识点1、常数项级数的概念和性质2、常数项级数敛散性的七条判别方法、四条性质。3、幂级数收敛半径的两种求法及其解析性质。4、函数展开为幂级数5、函数展开为傅里叶级数4三、幂级数幂级数是一类最简单的函数项级数,在幂级数理论中,对给定幂级数分析其收敛性,求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少,仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上,求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的,一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解,因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。5幂级数6幂级数收敛半径的求法7缺项幂级数收敛半径的求法法一:将原幂级数看成常数项级数,采用达朗贝尔比值判别法来求半径。法二:作变量变换,将原幂级数变换成变成标准型幂级数,再采用达朗贝尔比值判别法。法三:采用柯西根值判别法来求半径。注:根指数与项数要相同,相当于对级数添加了一些值为零的项(级数敛散性不变)法四:有些级数可以直接求和,利用和函数的奇点来确定幂级数的收敛半径。8幂级数和函数的求解方法9幂级数和函数的求解方法2)分项组合法可以通过观察发现有些幂级数具有某些明显的特征,比如可以将已知函数的通项拆项组合,再计算所拆得各项的和函数,从而求得该函数的和函数10