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《线性代数》复****提纲第一章、行列式(值,不是矩阵).行列式的定义:用n2个元素aj组成的记号称为n阶行列式。(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和;(2)展开式共有n!项,其中符号正负各半;行列式的计算—阶|a|=行列式,二、三阶行列式有对角线法则;N阶(n3)行列式的计算:降阶法定理:n阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为0,利用定理展开降阶。特殊情况:上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积;行列式值为0的几种情况:行列式某行(列)元素全为o; n行列式某行(列)的对应元素相同;皿行列式某行(列)的元素对应成比例; IV奇数阶的反对称行列式。概念:全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式Mij、代数余子式Aij(1)ijMij定理:一个排列中任意两个元素对换,改变排列的奇偶性。奇排列变为标准排列的对换次数为基数,偶排列为偶数。n阶行列式也可定义:D(-血届2aq”n,t为q&qn的逆序数行列式性质:1、行列式与其转置行列式相等。2、 互换行列式两行或两列,行列式变号。若有两行(列)相等或成比例,则为行列式o。3、 行列式某行(列)乘数k,等于k乘此行列式。行列式某行(列)的公因子可提到外面。4、行列式某行(列)的元素都是两数之和,则此行列式等于两个行列式之和5、 行列式某行(列)乘一个数加到另一行(列)上,行列式不变。6、 行列式等于他的任一行(列)的各元素与其对应代数余子式的乘积之和(按行、列展开法则)7、行列式某一行(列)与另一行(列)::若线性方程组的系数行列式D0,则方程有且仅有唯一解Xi晋必D,,XnD。:若线性方程组无解或有两个不同的解,则系数行列式 D=0.:若齐次线性方程组的系数行列式D0,则其没有非零解。:若齐次线性方程组有非零解,则其系数行列式D=0。(adbc)n,2X12X22X3L2Xn(XXj),(两式要会计算)cdMMMMnij1NOn1n1n1Ln1cdX1X2X3Xn范德蒙德行列rnrrri「2Nrnn(n1)rn1 rrri题型:Page21(例13)第二章、矩阵•矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵一一如单位矩阵、对角、对称矩阵等);•矩阵的运算(1)加减、数乘、乘法运算的条件、结果;(2)关于乘法的几个结论:矩阵乘法一般不满足交换律(若AB=BA,称A、B是可交换矩阵);矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在;若A、B为同阶方阵,贝V|AB|=|A|*|B| ;|kA|=kn*|A|。只有方阵才有幂运算。(3)转置:(kA)T=kAT, abtbtat(4)方阵的行列式:A*IA,|kAkn|A,|ABAB(5)伴随矩阵:AA*A*A|AE,A*(A巳L,A的行元素是A的列元素的代数余子式(6)共轭矩阵: 忑=(0j),A+B=a+^,kAkA,:方阵ataB11A1rB1rA11,T,AA:Bs1AsrBsrA11(7)矩阵分块法:ABAATsiTsr对称阵特点:(1)定义:非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;秩的求法:一般不用定义求,而用下面结论:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列,从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵)。求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。0<R(Amn)<min{m,n};ratra;若a~b,贝R(A)=R(B);若P、Q可逆,则R(PAQ)=R(A);max{R(A),R(B)}<R(A,B)<R(A)+R(B)若AB=C,R(C)Wmin{R(A),R(B)}.逆矩阵定义:A、B为n阶方阵,若AB=BA=I,称A可逆,B是A的逆矩阵(满足半边也成立);性质:AB1B1A1, A'-1A-1';(AB的逆矩阵,你懂的)(注意顺序)可逆的条件:① |A|工0②r(A)=n;③A->I;逆的求解:①伴随矩阵法a-1AA;②初等变换法(A:I)->(施行初等变换)(I:A1)方阵A可逆的充要条件有:①存在有限个初等矩阵P1,…,p,使aP1P2pA~E第三章、初等变换与线性方程组1、初等变换:①性质:初等变换可等价:若A经初等变换成B,则A与E等价,记作a~b,等价关系具有反身性、对称性、传递性。初等矩阵:由单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵定理:对Amn施行一次初等行变换,相当于在A的左边乘相应的m阶初等矩阵;对Amn施行一次初等列变换,相当于在A的右边乘相应的门阶初等矩阵。等价的充要条件:(1)R(A)=R(B)