微分方程的基本概念,一阶微分方程.ppt

常微分方程及其应用mz/c×cm微分方程的基本概念阶微分方程一、微分方程的基本概念mz/c×cm三、可分离变量的微分方程三、阶线性微分方程米四、小结、微分方程的基本概念引言新产品推销速度问题(一种新产品问世,如何采取有效措施,使得产品销量增大,以获取更大利润的问题)、生物种群数量变化问题(某生物种群在其适应的环境下生存,讨论分析该生物种群的数量变化情况的问题)、传染病传播问题(描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮的到来的问题)等都会用到著名的少马尔萨斯(Malthus)模型(为常数)dx=先xdtx(0)=mz/c×cm观察模型,易发现(1)式是含有未知函数导数的方程定义凡含有未知函数导数(或微分)的方程,8称为微分方程,未知函数是一元函数的微分方程称z为常微分方程,未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程注意:本书仅讨论常微分方程,并简称微分方程如引例方程=Ax及(y-2xy)dx+x2dy=04y+y"sinx+5xy=0,0210t都是微分方程,,方程两端恒等,,且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,,或利用附加条件确定任意常数应取的值,,称为初值问题例1验证y=ex+e-是方程y+2y+y=4ex8的解乙解由y=e+e-r得,extex将y,y'及y"代入原方程的左边,有(ex+e-x)+2(ee即函数y=ex+e-满足原方程,所以y=ex+e是方程y"+2y+y=4e的解例2验证y=Cx3(C为任意常数是方程3yxy=08的通解并求满足初始条件y(1)=1/=Cx3得y=3Cx2,将y及代入原方程的左边,有3Cx3x3Cx2=0,即函数y=,所以y=Cx3是一阶微分方程3y-xy'=0的通解将初始条件y(1)=13代入通解,得C=13,故所求特解为y=1/3x3二、可分离变量的微分方程引例已知一条曲线在任一点P(x,y)处的切2线斜率为y,且过点(1,2),求此曲线方程解设所求曲线的方程为y=yx,根据导数的几何意义及题设条件,得〃孓(1)y将(1)改写为dx两边积分,得Inly=lnx+C1,化简得|y=e·x,y=tex,mz/c×cm令C2=±e,则y=C2x,C2≠0此外,易看出y=0也是方程的解,所以y=C2x中的C2可等于0,任意常数将(2)式代入上式,得C=2所以,所求曲线的方程为y=2x