王进明初等数论习题解答.doc

王进明 初等数论****题及作业解答
P17****题1-1 1，2(2)(3), 3，7，11，12为作业。
1．已知两整数相除，得商12，余数26，又知被除数、除数、商及余数之和为454．求被除数.
解：
b=30, 被除数a=12b+26=360+26=386.
这题的后面部分是小学数学的典型问题之一——“和倍” 问题。
2．证明：(1)　当n∈Z且时，r只可能是0,1,8;
证：把n按被9除的余数分类，即：若n=3k, k∈Z，则, r=0；
若n=3k +1, k∈Z，则,r=1；
若n=3k－1, k∈Z，则,r=8.
(2) 当 n∈Z时，的值是整数。
证　因为=，只需证明分子是6的倍数。
=.
由k!　必整除k个连续整数知：6 ,6 |.
或证：2!|, |.
若3|n, 显然3|；若n为3k +1, k∈Z，则n－1是3的倍数，得知为3的倍数；若n为3k－1, k∈Z，则2n－1=2(3k－1)－1=6k-3, 2n－1是3的倍数.
综上所述，必是6的倍数,故命题得证。
(3)　若n为非负整数，则133|(11n+2+122n+1)．
证明：利用11n+2+122n+1=121×11n +12×144 n =133×11n +12×(144 n－11 n)及例5的结论．
(4)当m，n，l∈N+时，的值总是整数
证明：=
由k!必整除k个连续整数知：,
n! |，从而由和的整除性即证得命题。
(5)当a，b∈Z且a ≠－b，n是双数时，；
(6)当a，b∈Z且a ≠－b，n是单数时，．
解：利用例5结论：若a ≠ b，则．令b=－b*, 即得。
或解：　a = (a+b)－b， (5)　当n为双数时，由二项式展开
，证得。(6) 当n为单数时类似可得。
3．已知a1，a2，a3，a4，a5，b∈Z,且，说明这六个数不能都是奇数．
解：若这六个数都是奇数，设，则
，因为，所以8 | 4,
,　而，，，
即等式左边被8除余5,　而右边被8除余1, 故不可能这六个数都是奇数。
4．能否在下式的各□内填入加号或减号，使下式成立；能的话给出一种填法，否则，说明理由。
1□2□3□4□5□6□7□8□9=10
不能，因为等式左边有单数个单数，它们的和差只能是奇数，而等式右边10为偶数。或解：无论各□内填入加号或减号，1□2□3□4□5□6□7□8□9+1+2+3+4+5+6+7+8+9总是偶数，而1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,因此的结果1□2□3□4□5□6□7□8□9一定是奇数。
5．已知：a，b，c均为奇数．证明无有理根。
证：若有有理根，记为互质，代入方程有
即，这是不可能的，因为p,q互质，二者不可能同时为偶数。
若p为偶数，则为偶数，但是奇数，它们的和不可能为0;
若q为偶数，则为偶数，但是奇数，它们的和也不可能为0。
6．在黑板上写出三个整数，然后擦去一个，换成其他两数之和加1，继续这样操作下去，最后得到三个数为35，47，83．问原来所写的三个数能否是2，4，6?
解：不能．因为原来所写的三个数若是2，4，6，每次操作后剩下的三个数是两偶一奇．
7．将1-—99这99个自然数依次写成一排，得一多位数A＝1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011…97 98 99，求A除以2或5、4或25、8或125、3或9、11的余数分别是多少?
解：由数的整除特征，2和5 看末位，∴ A除以2余1，A除以5余4；4和25 看末两位，∴ A除以4余3，A除以25余24；8和125看末三位，∴ A除以8余3，且除以125余24；3和9看各位数字的和，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=45，A所有数字的和等于450,
∴ A除以3和9都余0，A除以11的余数利用定理1. 4, 计算奇数位数字之和－A 的偶数位数字之和．奇数位数字之和1+3+5+7+9+(0+1+…+9) ×9，偶数位数字之和2+4+6+8+(1+2+…+9) ×10，两者之差为－40，原数除以11的余数就是－40除以11的余数：4.
8．四位数7x2y能同时被2，3，5整除，求这样的四位数．
解：同时被2，5整除，个位为0，再考虑被3整除，有4个：7020，7320，7620，7920．
9．从5, 6, 7, 8, 9这五个数字中选出四个不同的数字组成一个四位数，它能同时被3, 5, 7整除，那么这些四位数中最大的一个是多少？
被5整除，个位必为5. 5+6+7+8=26, 5+6+7+9=27 ,5+6+8+9=28,5+7+8+9=29中唯27能被3整除，故选出的四个不同的数字是5, 6