函数的连续性连续性与间断点.docx

增量：变量"从初值 1变到终值巴，则“卫一"称为变量I的增量或
改变量，记为，即 '■-二
对于函数「，当自变量从 6变到二时I称为自变量 工
的增量；
对应的函数值从/（心）变到/K1，如叮0）-/© 7E十㈤-/（心）
称为函数°的增量。
注：增量可正可负。
图 3-1
定义 设函数」-■ ■在点门的某一邻域内有定义,
如果当自变量的增量-一 --趋于零时，对应函数的增量
I 一」「:匚:也趋于零
lim ]/国 +&) -/E)]・Q
那么就称函数」■■在点 r连续，i 称为函数J \的连续
点。
极限
如“㉛=lim[/(x0 十㈤-/(r0)] = 0 r「寺 血 I/W - /(勺)]=0 丄」- -■- 可与^成 :_
所以此定义也可改写为
定义设函数」在点"的某一邻域内有定义,
如果！］丁—
那么就称函数 • - L在点'连续。
由定义可知，函数 在点连续，必满足三个条件
(1) '在点&有定义
Im; /(a)
(2)-」 存在(左、右极限存在且相等)
to/W=/(x0)
如果三条中有一条不满足，则 ■■' '■'■■■在厂点就不连续。
0
1<
2
解
在
〔处
图 3-2
SF~* 0—
Hrn /W ir-rti-t-
WO-
/w
例1设
尹十4
解丿「丿是一分段函数,
所以'；L '''不存在，故在 「「=〔处不连续。
例2讨论函数
在卞=：，二=［及=-处的连续性。
liin =lim (x-t =-lT tt(t 4旷
:亠二二、」讨论-‘ ‘在工=〔的连续性。
x > 2.
lim/(a)
片0
不存在，所以不连续。
在K =］处:
= lim_2x = 2, lun / (x) = lim (f +1) = 2,
jf-^r r-j-l" x-4r ft■广
Inn /«=/(!) =2 «->i
所以连续。
在x = 2处:
bm 丁(£ = ?十 1) = 5, Inn /迂)=lim+(lx 十 4) = 5r jctST r->2 ktZ* 富—^2，2
/⑵7所以连续。
左连续、右连续:
Inn /㈤
若心町 存在且等于
朗怒g),则称临
在可点左连续;
lim j (x)
若宀血+ …存在且等于
f ，则称八工)
在仓点右连续。
图 3-3
如：上两例中的函数均在
-=点左连续。
显然」••在
J点连续，则 」1「在％点左连续且右连续。
函数」；二在区间连续:
如果函数-在区间-'' 内每一点都连续，则称函数 「在区间
（血五）内连续；
如果-’；「；在区间』二内连续，在 二点右连续，在 J点左连续，
则称函数-'■'■■■在闭区间-」--上连续。
图 3-4
例3当时「j二且「一在"〔连续，则「）
解 在止-连续，
:寸⑼=lim /(x) = lun (1 + =
XtD m 0
fl
—gin
x
例4设函数
/W =
rt7 A = 0
sill — + 1, x > 0 兀 在x = 0处连续，求疋。