成考高等数学(二)重点及解析(详细版).doc

成考专升本高等数学（二）重点知识及解析（占130分左右）
第一章、函数、极限和连续（22分左右）
第一节、函数（不单独考，了解即可）
一、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。
例如：是由，和这三个简单函数复合而成.
例如：是由，和这三个简单函数复合而成.
该部分是后面求导的关键！
二、基本初等函数：
（1）常值函数： （2）幂函数： （3）指数函数：(〉0,
（4）对数函数：(〉0,
（5）三角函数：，，，，，
（6）反三角函数：，，，
其中： （正割函数） ， （余割函数）
三、初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。他是高等数学的主要研究对象！
第二节、无穷小与无穷大（有时选择题会单独考到，也是后面求极限的基础）
一、无穷小
1、定义：以0为极限的量称无穷小量。
注意：（1）一个变量否是无穷小量与他的自变量的变化趋势紧密相关。
（2）只有0能能作为无穷小的唯一常量，千万不能将无穷小与很小的常量混为一谈。
例1：极限，即当时，变量是无穷小；
但是当时，就不是无穷小，因为此时他的极限值不为零。所以表述无穷小时必须指明自变量的变化趋势。
例2：例变量在给定的变化过程中为无穷小的是（ ）.
A、 B、 C、 D、
E、 F、 G、 H、
答案：选C、E、F、H ，因为上述选项的极限值均为零！
二、无穷大
1、定义：当（或）时，无限地增大或无限减小，则称是当（或）的无穷大。
注意：（1）无穷大是变量，不能与的常量混为一谈。
（2）无限增大是正无穷大（），无限减小是负无穷大（）。
三、无穷小和无穷大的关系：若为无穷大，则为无穷小；若为无穷小（0），则为无穷大
例如：当时，为无穷小，则为无穷大。
当时，为无穷大，则为无穷小。
第三节、极限的运算方法（重中之重！选择、填空和解答题都会考到） 一、直接代入法：对于一般的极限式（即非未定式），只要将代入到函数表达式中，函数值即是极限值。
注意：（1）常数极限等于他本身，，为任意常数
（2）求极限时首先考虑用代入法，但是该方法只能针对的时候，而时则不能用代入法，因为是变量，并非实数！
例1： ， ， ， ，
例2：===
例3：==
例4：==
二、未定式极限的运算法（重点，每年必考一题！）
1、未定式定义：我们把、，，，等极限式称为未定式，因为它们的极限值是不确定的，可能是无穷小，可能是不为零的常数，也可能是无穷大。
注意：确定式是指极限值是确定的一个值，不用通过计算就可以推断出。
2、四则运算中常见的几个未定式和确定式
（1）， ， ， 为未定式
（2）为未定式， 为未定式， ， 为未定式
上述和下述的都代表无穷小，即极限值为零的量。
3、几个重要未定式的计算方法
（1）对于未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将代入后函数值即是极限值。（对于分子、分母有根号的特殊情况，要先消去根号，然后提取公因式）
（2）对于未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次幂，然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。
（3）对于未定式：先通分将转化成或的形式，然后再用上述或的计算方法进行计算。
例1：计算. ………未定式，提取公因式
解：原式===
例2：计算. ………未定式，提取公因式
解：原式= =
例3：计算. ……… 未定式，先去根号再提取公因式
解：原式====
例4：计算. ………未定式，分子分母同除以
解：原式== ………无穷大倒数是无穷小，因此分子是0分母是2
例5：计算. ………未定式，先求极限再开三次方
解：原式====
例6：计算. ………未定式，先通分，后计算
解：原式=====
注意常用的几个代数转换公式：

三、利用两个重要的极限 （重点掌握公式，一般考选择、填空）
1、公式：=1 （把结论记住即可，重点掌握后面的等价无穷小的替换）
2、公式：= 或 =
（1）适用范围：一般用于“” 未定式的极限式
（2）解题方法： 通常用换元法，先将复杂的变量换元成新变量t，再将原极限式中的变量新变量t的进行代换，然后转化为公式的形式，最后进行计算。
注意：于换元时引入了新变量，要求出新变量的变化趋势。
例1：计算.