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定积分的分部积分法ppt演示文稿.ppt

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文档列表 文档介绍

第六章定积分
第一节定积分的概念
第二节微积分基本公式
第三节定积分的换元法
第四节定积分的分部积分法
第五节广义积分
1
第一节定积分的概念
一、定积分问题举例
1．曲边梯形的面积
图6-1
所围成的平
面图形称为曲边梯形,如图
6-1.
求其面积的四
个
步骤：
(1)分割
任取分点把底边分成
个小区间.
(2)取近似
(3)求和
(4)取极限
2
要计算这段时间内所走的路程．
(3)求和
二定积分的定义

设某物体作直线运动，
上的连续函数，
(1)分割任取分点,
(2)取近似
(4)取极限
设函数
上有定义,
任取分点
=1,2,…,n），记
…,
3
在每个小区间
上任取一点
作乘积
的和式：
上述和式的极限存在，
则称此极限值为函数
在区间
上的定积分，
（此时，也称
）记为
根据这个定义，两个实际问题都可用定积分表示为：
曲边梯形的面积
变速运动路程
4
三定积分的几何意义
图形在
轴之上，积分值为正，有
图形在
轴下方，积分值为负，即
则积分值就等于曲线
在
轴上方的部分
与下方部分面积的代数和，如图6－2所示，有
图6－2
四定积分的性质
性质1
性质2
性质3
性质4
5
性质5
则
性质6
则至少存在一点
使得
例估计定积分
的值．
解先求
在[－1，1]上的最大值和最小值．
得驻点
在驻点及区间端点处的函数值，
故最大值
最小值
由估值定理得，
61．利用定积分的几何意义，说明：
2．利用定积分的几何意义，求下列定积分．
3．利用定积分估值定理，估值定积分
的值．
第二节微积分基本公式
一、变上限的定积分
7
通常称函数Φ
为变上限积分函数或变上限积分．
定理1 如果函数
则变上限积分
推论连续函数的原函数一定存在．
例1 计算
解因为
故
8
例2 求下列函数的导数：
解 ⑴
⑵设
例3 求
解
二、牛顿——莱布尼茨公式
定理2 设函数
9
则有
上式称为牛顿——莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式．
为方便起见，
常记作
例4 求定积分
解1
10

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