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拓扑学简介(四）——　流形
　 1854年，28岁的黎曼在哥廷根大学发表就职演讲。这个职位是所谓无薪讲师，他的收入完全来自于听课的学生所缴纳的学费。即使是争取这样一个职位,也需要提供一篇就职论文以及发表一个就职演讲。1８53年他提交了就职论文,其中讨论了什么样的函数可以展开成三角级数的问题，并导致对定积分的第一个严格数学定义。之后的就职演讲要求候选人准备三个演讲课题,委员会从中挑选一个作为正式演讲题目。黎曼选了两个思虑多时的课题，外加一个还未及考虑的课题——关于几何学的基本假设。，委员会的高斯偏偏就看中了第三个题目。当时黎曼正沉浸于电、磁、光、引力之间的相互关系问题,从这样的深沉思考中抽身转而研究新的问题无疑是一种巨大的压力，再加上长期的贫穷,,用7个星期时间准备了关于几何学基本假设的演讲。为了让数学系以外的委员会成员理解他的演讲，黎曼只用了一个公式，，估计在场鲜有人能理解这次演讲的内容。只有高斯为黎曼演讲中蕴含的深邃思想激动不已。
黎曼在演讲中提出了“弯曲空间”的概念，并给出怎样研究这些空间的建议。“弯曲空间"正是后世拓扑学研究的主要对象。在这些对象上,除了可以运用代数拓扑的工具,还可以运用微积分工具,这就形成了“微分拓扑学”。
，几何学的对象缺乏先验的定义，欧几里德的公理只是假设了未定义的几何对象之间的关系，而我们却不知道这些关系怎么来的,甚至不知道为什么几何对象之间会存在关系。黎曼认为,几何对象应该是一些多度延展的量,体现出各种可能的度量性质。而我们生活的空间只是一个特殊的三度延展的量，因此欧几里德的公理只能从经验导出，而不是几何对象基本定义的推论。欧氏几何的公理和定理根本就只是假设而已。但是，我们可以考察这些定理成立的可能性,然后再试图把它们推广到我们日常观察的范围之外的几何,比如大到不可测的几何,，黎曼开始了关于延展性,维数,（几何对象)一个名称，德文写作manｎigfaltigkeｉｔ，英文翻译为manifold，英文字面意思可以理解为“多层”,中国第一个拓扑学家江泽涵把这个词翻译为“流形",取自文天祥《正气歌》,“天地有正气，杂然赋流形”，而其原始出处为《易经》，“大哉乾元，万物资始，乃统天。云行雨施，品物流形。”这个翻译比英文翻译更加符合黎曼的原意,即多样化的形体。
黎曼定义的“n维流形”大概是这个样子的：以其中一个点为基准,:，成为“整体微积分”,则称此流形为“微分流形”。一个简单的例子就是二维球面。我们都知道，二维球面上没有整体适用的坐标。经度和纬度是一组很好的坐标,但是在南北两极，经度无从定义。尽管如此，球面的每个局部都可以画在平面上,这就是地图。把各个区域的地图收集在一起，重叠的部分用比例尺协调一下，,坐标(或地图）只存在于每个局部，，因为球面的局部同平面（二维欧氏空间