非线性方程与非线性方程组解法.docx

非线性方程与非线性方程组解法.docx非线性方程与非线性方程组解法
“方程是很多工程和科学工作的发动机”。在工程和科学计算中，如 电路和电力系统计算、非线性力学、非线性微分和积分方程、非线性规划 等众多领域中，常涉及到非线性方程或非线性方程组的求解问题。
【例如】求代数方稈6x6+3x5+2x2-4x-8 = 0的根。
【如】求解方程组
fx = + y
［y = - y
诸如此类的问题，归结为寻求函数方程的零点，即求X*使
/(x*)三 0 (1)
x*称为方程或方程组(f为向量函数时)的根或零点。
由于自然现象和实际问题的复杂性，对函数方程和方程组求解问题， 没有哪一种方法能求出一般方程的准确解。因此，求其兹道帶就非常必要 了。
先讨论非线性方程求根问题。
§1直接出
Jt接法的理论依据：设f(x)在区间［a,b］上连续，且f(a) • f(b)<0,根据连续函数的性质，f(x)在g,b］内一定有根存在。此时称 ［a,b］为方程f (x) =0的有根区间。进而,若再加上严格单调，贝(J［a, b］内 有且仅有一根。
直接法：是指通过对函数f(x)求值计算，逐步缩小有根区间，最后 求出满足精度的近似根的方法。
一、逐步搜索法一一确定有根区间
设f(x)在［a,b］内连续，为求其实单根存在区间，取一点九。(如兀° =a)，并取一确定的正数h,称为步长，令xk = x() ± kh ,观察f(xk) 的符号变化情况,当0时,［忑，无•+】］便是一个有根区 间，称上述逐步确定有根区间的方法为逐步搜索法。这种方法的计算量， 与步长的选取相关，步长h选取的足够小，就可使有根区间足够精确，当 然计算量也较大。
逐步搜索法适用于粗略地估计根的计算问题，一般此方法只用来隔离 有根区问是只有一个实单根的小区间。
【例1】求/(兀)= *—3*+4x —3 = 0的有根区间。
解因为f(X)在(-8, +8)内连续，而且
f\x) = 3x2 - 6x + 4 = 3(x-l)2 +1〉0
所以f (x)为单调增加函数，则f (x)=0在(-8, +8)内最多只有一个实根. 又因为f (x) <0, f⑵>0,所以方程的唯一实根在［0, 2］内,［0, 2］就是所求的 有根区间.
【例2】证明方程= 兀2= 0有3个实根.
证：由于f(X)在(-8, +8)内连续，要证方程有3个实根，即要证f(X) 与ox轴有3个交点，只须证明有3个有根区间，且每个区间内只有一个 根。
Mat lab中有根区间的确定：
x=-5::5;y=exp(x)-3*;plot (xfyf 1r1z x,O*x),grid on
title(1 The Image of f(x)=exp(x)-3*) xlabel (1 \fontsize {12 } \fontname {宋体} 图 1‘)
%axis square
也可转到Mat lab指令窗中用zoom in放大
理论依据:设函数f(x)在［a,b］上连续，严格单调，且有f@). f(b)<Oo
二分法的基本思想：反复对分区间，从而逐步缩小有根区间
步骤:取［a, b］的中点X = 呼,计算/(_!),
2
若/(x