§93三重积分及其计算-课件(PPT演示稿).ppt

将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域,被积函数推广到三元函数, 就得到三重积分的定义.§ 三重积分及其计算一、三重积分的概念三重积分的物理背景以?(x, y, z)为体密度函数的空间物体?的质量. 首先, 将闭区域?任意分成 n个小闭区域?v 1, ?v 2, ???, ?v n, 其中?v i 表示第 i 个小闭区域, 也表示它的体积, 在每个?v i上任取一点(? i, ? i, ? i ), 作乘积?(? i, ? i, ? i )?v i ( i =1, 2, ???, n ), 并作和?? ni iiiiv 1),,(?????如果当各小闭区域的直径中的最大值?趋近于零时, 该和式的极限存在, 则称此极限为空间物体?的质量 M, 即.),,( lim 1 0???? ni iiiivM??????当然, 在三维空间定义的函数 u=f(x, y, z)的“几何”意义是四维空间的“曲面”, 我们可以想象, 但无论如何也无法画出其“图形”, 因此我们不再讨论其几何意义. 下面我们给出三重积分的定义:,),,( ???? dvzyxf 定义:设f(x, y, z)是空间有界闭区域?上的有界函数, 将闭区域?任意分成 n个小闭区域?v 1, ?v 2, ???, ?v n, 其中?v i 表示第 i 个小闭区域, 也表示它的体积, 在每个?v i上任取一点(? i, ? i, ? i ), 作乘积 f(? i, ? i, ? i )?v i ( i =1, 2, ???, n ), 并作和如果当各小闭区域的直径中的最大值?趋近于零时, 该和式的极限存在, 则称此极限为函数 f(x, y, z)在闭区域?? ni iiiivf 1),,(???????? ni iiiivf 1 0),,( lim ??????上的三重积分, 并记为即???? dvzyxf),,( 其中 dv 称为体积元素, 其它术语与二重积分相同. 同样有: 闭区域上的连续函数一定可积. 在直角坐标系中, 如果我们用三族(平行于坐标的) 平面 x=常数, y=常数, z=常数, 对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体. 其体积元素为:dv = dxdydz .三重积分可写成: 由定义可知三重积分与二重积分有着完全相同的性质, 不再叙述. ????????? dxdydz zyxfdvzyxf),,(),,( 二、三重积分在直角坐标系中的计算法与二重积分类似, 三重积分可化成三次积行计算. 具体可分为先单后重和先重后单两种类型. zyx o ? xyD (x, y) z=z 1(x, y) z=z 2(x, y) ①先单后重: 设闭区域?在xoy 面的投影为闭区域 D D xy内任取一点(x, y ), 作垂直于 xoy 面的直线穿过闭区域?.穿入?时的下边界曲面方程:z=z 1(x, y)穿出?时的上边界曲面方程:z=z 2(x, y)??),(),( 21),,(),( yxzyxzdzzyxfyxF 先将 x, y看作定值, f(x, y, z)看作 z的函数, 则积分为闭区域 D xy上的函数, 可以理解为压缩在平面薄片 D xy 上的密度函数. 上的二重积分在闭区间计算 DyxF),(.]),,([),( ),(),( 21 ?????? D yxzyxzDd dzzyxfdyxF??, ),()(: 21bxaxyyxyD????????? dvzyxf),,( .),,( )()( ),(),( 21 21???? ba xyxy yxzyxz dzzyxf dy dx ——也称为先一后二,( 先z 次y 后x) 注意于两点情形. 相交不多的边界曲面直线与闭区域内部的轴且穿过闭区域这是平行于 S z??用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分。化三次积分的步骤⑴投影,得平面区域⑵穿越法定限,穿入点—下限,穿出点—上限对于二重积分,我们已经介绍过化为累次积分的方法 ox y zD xy ????dvzyxf),,( 例 1: 将三重积分化成三次积分, 其中?为长方体, 各边界面平行于坐标面. 解: 将?投影到 xoy 面得 D xy,它是一个矩形: c ? y ?d, a ?x ?b,在D xy内任取一点(x, y )作平行于 z 轴的直线, 交边界曲面于两点, 其竖坐标为 l 和m(l < m ). ab cd(x,y) ml ????dvzyxf),,( ???? xyD mlddzzyxf?]),,([.),,(???? ml dc badzzyxfdy dx 例 2: 计算, ???? xdxdydz 平面 x+y+z =1 所围成的区域. D xyx