有限单元法-1.ppt

有限单元法初步
有限单元法是在矩阵位移法基础上发展起来的一种结构
分析方法,用于板壳、实体等结构的分析。
有限元分析的步骤与矩阵位移法基本相同,过程也相似。
1
2
4
6
3
5
离散化:
水坝
单元分析:
整体分析:
求应力:
1 杆系结构的有限单元法
泛函与变分
“最速落径问题”---质量为m的小环从A处自由滑下,
试选择一条曲线使所需时间最短。(不计摩擦)
A
B
X
Y
设路径为
y=y(x)
所需时间
a
y
称T为y(x)的泛函,
y(x)为自变函数。
即以函数作自变量以积
分形式定义的函数为泛函。
泛函与变分
X
A
Y
变分运算在形式上与微分运算相同。
y=y(x)
x+dx
dy
x
称为y(x)的变分,它是一个无穷小的任意函数。
微分与变分运算次序可以交换。
积分与变分运算次序也可以交换。
变形体虚位移原理
外力虚功
内力虚功
虚功方程
势能原理

弯曲应变能
P
拉压应变能
P
P
剪切应变能
y(x)
平衡位置
q(x)

势能原理

弯曲应变能
P
P
拉压应变能
P
剪切应变能
外力从变形状态退回到无位移的
原始状态中所作的功.
y(x)
q(x)

变形体虚位移原理
虚功方程
y(x)
平衡位置
q(x)
变形体虚位移原理
虚功方程
y(x)
平衡位置
q(x)

势能原理

弯曲应变能
拉压应变能
剪切应变能
外力从变形状态退回到移的
原始状态中所作的功.

对于线弹性杆件体系
变形体虚位移原理
虚功方程
y(x)
平衡位置
q(x)
势能原理

对于线弹性杆件体系
对于线弹性杆件体系,虚功方程为:
或
即
在弹性结构的一切可能位移中,真实位移
使结构势能取驻值。
满足结构位移边界条件的位移
基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析
单元杆端力
一、建立位移模式
---用杆端位移表示杆中位移
EA,l
e
q(x)
2
1
单元杆端位移
设杆中任一点位移
a、b称为广义坐标
令---自然坐标
形(状)函数
时的
杆中位移.
时的
杆中位移.
---形函数矩阵
形函数性质:
1.
若
2.
中包含刚体位移
基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析
EA,l
e
q(x)
2
1
杆中任一点应变
一、建立位移模式
---用杆端位移表示杆中位移
---应变矩阵
二、应变分析
---用杆端位移表示杆中应变
三、应力分析
---用杆端位移表示杆中内力
杆中任一点应力
杆中任一截面的轴力
基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析
EA,l
e
q(x)
2
1
一、建立位移模式
---用杆端位移表示杆中位移
二、应变分析
---用杆端位移表示杆中应变
三、应力分析
---用杆端位移表示杆中内力
四、单元分析
---用杆端位移表示杆端力
单元应变能
单元外力势能