线性代数考研习题归类汇总二次型.ppt

二次型的基本内容
1、二次型及其矩阵表示
含有n个变量x1,x2,…,xn的二次齐
次多项式:∫(x1,…,x)=∑∑axx,
其中an=an(,=1,…,n)称为n个变量
x1,x2,…,xn的二次型
∫(x1,,xn)的矩阵形式为:f(x1,…,xn)=xAx,
式中x=(x,…,xn),A=(an)∞n,AT=A
、二次型的基本内容
1、二次型及其矩阵表示
对称阵A称为二次型f(x)的矩阵
二次型f(x)称为对称阵A的二次型
r(A)称为二次型f(x)
数时,f(x)是实二次型,A为实对称阵
、二次型的基本内容
2、化二次型为标准形
(1)合同变换:设x=(x1,x2,…,xn),
y=(n,y2,…,yn)为n维向量,C=(cn
为n阶矩阵,则为x=线性变换;
C=(cnmn可逆时,x=Cy(ICh=0)
称为可逆线性变换,也称为合同变换
、二次型的基本内容
■2、化二次型为标准形
设A、B均为n阶实对称矩阵,C为n
阶可逆(满秩)矩阵,若:CAC=B,

对A进行合同变换,C为合同变换矩阵
2、化二次型为标准形
二次型的基本内容
(2)二次型的标准形:二次型
f(x1;…,xn)=xAx
经过合同变换x=Cy化为:
f=xAx=(Cy)A(Cy)=y(C AC)y
若CAC为对角阵,则称为是f的标准形
此时;∫=∑dy2(r=r(A)≤n)
=1
二次型的基本内容
■2、化二次型为标准形
二次型的标准形是不唯一的,与所
作的合同变换有关,但系数不为零的平
方项的项数为r=r(A)个,
即:平方项的项数由r=r(A)唯一确定.
化二次型为标准形的方法有:
配方法、正交变换法
二次型的基本内容
■2、化二次型为标准形
3)惯性定理:任一实二次型∫都可经
过合同变换化为下面规范形:
f
=十z2十…十zn-z
其中p+q=r=r(A),P为正惯性指数,
q为负惯性指数,且规范形唯
二次型的基本内容
■2、化二次型为标准形
相关结论:
①任一实对称矩阵合同于一个对角阵
②实对称矩阵A、B合同的充分必要条
件是二次型xAx和xBx有相同的正
负惯性指数
二次型的基本内容
■3、用正交变换法化二次型为标准形
二次型f(x1,xn)=xAx经过正交
变换x=Py(P为正交阵)化为:
∫=xAx=y(PAP)y=∑l,y
称为化二次型为标准形的正交变换法