函数增减性与奇偶性一般快速判断方法.docx

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一
复合函数
1.
增减性
对于 F(x)=f[g(x)]
的复合函数 , 其增减性满足乘法定则
即:
增
复合
增
增
,
减
复合
减 增
减
复合
增 减 ,
由此可推出更高阶规律
, 例如
=
=,
=
增 复合 增 复合 减 =增 复合 减 =减 .
2. 奇偶性
对于 F(x)=f[g(x)] 的复合函数 , 其实只要掌握好奇偶函数的定义， 自己推一
下是非常容易的。
F(x)=f[g(x)] —— 复合函数，则 F(-x)=f[g(-x)] ，
如果 g(x) 是奇函数，即 g(-x)=-g(x) ==> F(-x)=f[-g(x)] ，
则当 f(x) 是奇函数时， F(-x)=-f[g(x)]=-F(x) ， F(x)是奇函数；
当 f(x) 是偶函数时， F(-x)=f[g(x)]=F(x) ， F(x) 是偶函数。
如果 g(x) 是偶函数，即 g(-x)=g(x) ==> F(-x)=f[g(x)]=F(x) ， F(x) 是偶函数。
所以由两个函数复合而成的复合函数， 当里层的函数是偶函数时， 复合函数是偶函数， 不论外层是怎样的函数； 当里层的函数是奇函数、 外层的函数也是奇函数时， 复合函数是奇函数，当里层的函数是奇函数、外层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数。
在其它的场合，就不能如此单纯地判断复合函数的奇偶性了。
二 加减函数
1. 增减性
对于 F(x)=g(x)+f(x) ，增 +增 =增 ，减 +减=减， 减+增则无定则
2. 奇偶性
对于 F(x)=g(x)+f(x) , 奇+奇 =奇 , 奇 - 奇 =奇 , 偶 +偶=偶 , 偶 - 偶 =偶 . 奇 +偶无定则
三 相乘函数
1. 增减性
对 于 F(x)=g(x)*f(x) , 一 切 皆 无 定 则 . 知 道 你 会 不 信 , 很 好 , 我 来 举 个 例
子:f(x)=g(x)=-x , 都是减函数 , 而 F(x)=x^2, 有增有减 .
1
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2. 奇偶性
对于 F(x)=g(x)*f(x), 同样满足乘法定则 ( 其实这名字是我取的 , 不要说出去 , 不