解析函数的孤立奇点.doc

本科毕业论文学院数学与信息科学学院专业信息与计算科学年级 2011 级姓名*** 论文题目解析函数的孤立奇点指导教师职称 2015 年月日学号: **** 目录摘要………………………………………………………………… 1 关键词……………………………………………………………… 1 Abs t ract …………………………………………………………… 1 Key words ………………………………………………………… 1 前言………………………………………………………………… 1 1 解析函数的概念…………………………………………………… 1 2 解析函数的洛朗展式……………………………………………… 2 2. 1 解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式………………………………… 2 3 解析函数的孤立奇点……………………………………………… 2 3. 1 孤立奇点的三种类型……………………………………………………… 2 3. 2 可去奇点…………………………………………………………………… 3 3. 3 极点………………………………………………………………………… 5 3. 4 本质奇点…………………………………………………………………… 7 4 无穷远点是奇点的情形…………………………………………… 8 总结…………………………………………………………………… 10 参考文献………………………………………………………………… 11 1 解析函数的孤立奇点学生姓名:*** 学号:***** 数学与信息科学学院信息与计算科学专业指导老师: 冯书香职称: 讲师摘要: 本文介绍了解析函数的概念和解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式, 以及解析函数的孤立奇点的三种类型:可去奇点、极点、本质奇点与无穷远点是奇点的情形. 关键词:解析函数;洛朗展式;孤立奇点 The i solated singularity of analytic function Abst r act :We will introduce the definition and Laurent exhibition type of analytic function and three types of the isolated singularity,that is, removable singularity , the pole and essential singularity as well as the singularity at infinity in this paper . Key words : Analytic function ; Laurent exhibition type ; Isolated singularity 前言在复变函数中,解析函数是复变函数论的主要研究对象,,首先简单的给出了解析函数和孤立奇点的定义,解析函数的洛朗展式,,详细的介绍了解析函数的孤立奇点的三种类型:可去奇点、极点、本质奇点,并结合具体的列子来研究各类奇点的性质与特点. 1 解析函数的概念定义?? 若函数?? zf??在 0zz?的邻域?? 0zS 上有定义,且在此邻域中函数?? zf 处处有导数,则称函数?? zf??在 0zz??? zf??在区域 D 内有定义,且在 D 内处处有导数,则称函数?? zf??在区域 D 内解析,或称?? zf 是区域 D 内的解析函数. 容易看出,函数?? zf 在区域 D 内解析与函数?? zf 在区域 D 内处处解析的说法是等价的. 2 2 解析函数的洛朗展式定理?? (洛朗定理)在圆环 H :?????????RrRazr,0 内解析的函数?? zf 必可展成双边幂级数??????????? n nnazczf ,( ) 其中?????????da fi c n???2 1???????,1,0n ,( ) ?为圆周?? Rra???????,并且展式是惟一的(即?? zf 及圆环 H 惟一地决定了系数 nc ). 定义 ( )称为函数在点的洛朗展式,( )称为其洛朗系数,而( ) 等号右边的级数则称为洛朗级数. 解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式定义 如果函数?? zf 在点 a 的某一去心邻域?? aK?:Raz???0 (即除去圆心 a 的某圆)内解析,点 a 是?? zf 的奇点,则称 a 为?? zf 的一个孤立奇点. 注因函数?? zf 在?? aK?内是单值的,故也称 a 为?? zf 的单值性孤立奇点;如遇到?? zf 在?? aK