第六章 不可压缩理想流体平面无旋流动.pdf

第六章不可压缩理想流体平面
无旋流动
若取 z 轴垂直于某一固定平面,则平面流动
B ∂B V = 0
的任一物理量都应满足= 0 ,并且 z
∂z
对于不可压缩理想流体的无旋流动,可以将
运动学问题与动力学问题分开讨论,即首
先由连续方程和无旋条件确定速度场,再
由柯西——拉格朗日积分确定压力场。
§6-1 平面流动的流函数及其性质
一、流函数的定义
∂ρ
+∇i()ρV =0
∂t
∇iV=0
∇=i()ρV 0
∂
==00,V
∂z z
1 ⎛⎞∂∂hV21ρρh1V2
∇iV= ⎜⎟+=0
hh12⎝⎠∂∂q1 q2
∂ψ
= hV21
∂q2
∂ψ
=−hV12
∂q1
∂ψ
= hV21ρ
∂q2
∂ψ
=−hV12ρ
∂q1
ψ为流函数,通常又把不可压缩平面流动的流函数
称作拉格朗日流函数。
ψ对某一方向的导数反映了这一方向顺时针
转90度后的方向的速度。
流函数的存在,就意味着满足连续方程。可
以用一个标量函数ψ来代替两个标量函
数。VV12,
二、不可压平面流动的流函数及其性质
在直角坐标系(x,y) 中的流函数
∂∂ψψ
==u −v
∂∂yx
在柱坐标系()r,ε中的流函数
∂∂ψψ
=−V =rV
∂∂r εε r
在自然坐标系()q,12q 中的流函数
∂∂ψψ
==hV2211=hV −hV2=0
∂∂qq12
(一)等流函数线为流线
∂∂ψψ
ddψ=+xdy=−vdx+udy
∂∂xy
dψ= 0
∂ψ
−
dy v
==∂x
dx ∂ψ u
∂y
这就是流线方程,所以等流函数线也就是流线
(二)两点的流函数值之差等于过此两点连
线的流量
平面问题中的流量 Q 是指通过 z 方向为单位
宽度的柱面的体积流量。
dQ=Vni dl =+⎣⎦⎡⎤u cos(n,x) vcos(n,y) dl
dy
cos()n,x =
dl
dx
cos()n, y =−
dl
⎛⎞∂∂ψψdy dx ∂ψ∂ψ
dQ=⎜⎟+ dl =+=dy dx dψ
⎝⎠∂∂ydl xdl ∂y ∂x
dQ=dψ
BB
Q= dQ ==dψψ−ψ
∫∫AA BA
Q=ψψBA−
经过任意曲线的AB流量,等于曲线两端点上的流函数
数值之差,而与曲线的形状无关。
若AB为封闭曲线,即A,B两点重合,在流函数ψ为单位
函数的条件下,通过此封闭曲线的流量为零。
(三)流函数ψ可以是多值函数
在过内边界总流量不等于零,且域中无源
汇的条件下,流函数ψ是多值的,但是它
们之间只相差一个常数 nQ0 ,然而,域中每
点速度
∂ψ
u =
∂y
∂ψ
u =−
∂x
总是单值的。