高等流体力学第一章 预备知识.pdf

高等流体力学
第一章预备知识●场论与
正交曲线坐标
•场:具有物理量的空间
•物理量=f(空间位置 R , t)
§ 向量及张量的基
本运算
一、向量运算符号规定
1、爱因斯坦(Einstein)求和符号
定义:数学式子中任一项出现一对符号相同的
指标(哑指标)
如:
a=a+a+aiieeee 11 22 33
2、克罗内尔(Kronecker)δ符号
定义:任意两个正交单位向量点积用δij 表示
⎧1i=j
eeiji =δ ij=⎨ i,,,j=1 2 3
⎩0ij≠
3、置换符号
任意两个正交单位向量叉积可表示为
×=
eei je ijk e k
式中eijk 称为置换符号,又称利西(i)符号
⎧ 0ijk2, , 中有个或 3 个自由指标值相同
⎪, , 中按顺序任取个排列
eijk = ⎨ 1 i j k 12312 3
⎪, , 中按顺序任取个排列
⎩−1 i j k 13213 3
二、向量运算公式
abii=aiiee bjj =abi j eei ij = abi jδij = abii
ab±±=aiiee b ii =( aii ± b ) e i
ab××=aiiee bjj =abi j eei ×j

eee123
==abeijijkke a123 a a
bbb123
ii i
ab()×=ceeeabii( j jkk × c) = abc i jki eee( jk ×)
===abcijkieei e jkll abc ijkjkiijkijk e abc e
aaa123
= bbb 123
ccc123
abciiii( ×=×) ( abc) = cab( ×=×)( cab )
abc=acbabc×()×−( ii) ( )
(a××= b)iiiii( c d) ( ac)( bd) −( bc)( ad)
三、向量分量的坐标变换
a=aiiee= a i′ i′
aa , ,
ii′和eeii ′分别为a 在两个不同的正交坐标系中的
分量和坐标轴单位向量,各单位向量间的夹角余弦(即方
,, ,,
向余弦)为 lmnjjj (123)j =
各坐标轴方向余弦
′ eee
aaiiii′′==eeii( eeii′) a i ( i=,123 , ) 123
ee11
′′ l123 l l
aaiiii==′′eeii() eeii′ a i ′( i=,123 , )
ee2
2 ′ m123 m m
e
3 ′ n n n
e3′ 123
例如:
aaaalalala1123112233′=(ee11iii′′′) ++=++( ee 21) ( ee 31)
四、二阶张量的基本运算
二阶张量是两个向量的并积
表示为:
,
Bj123===ac = aciijje e ac ijij ee b ijij ee ( i =, , )
ee≠ e e
! ij ji
1、二阶张量的基本运算规则
ab±± cd = (abij cd i j)eei j
abiic=( ab) c=( ba i) c=c( ba i)
abiii cd = a( b c) d =( b c) ad = ad( c i b)
cabd=ii() ca i( bd i)=( bd i)( ca i)=( db i)( ac i)
ab× c = a( b× c)
2、二阶张量分量的坐标变换
B=bbijee i j = i′ j′′ e i e j ′