2021年北京航天航空大学线性代数71(a).ppt

说明

定义1　设 为 维向量的集合，如果集合 非空，
且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称
集合 为向量空间．
集合 对于加法及乘数两种运算封闭指
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例2 判别下列集合是否为向量空间.
解
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例3 判别下列集合是否为向量空间.
解
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定义2 设有向量空间 及 ，若向量空间　　　，
就说 是 的子空间．
实例

设 是由 维向量所组成的向量空间，
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那末，向量组 就称为向量　的一个
基， 称为向量空间 的维数，并称 为 维向量
空间．

定义3 设 是向量空间，如果 个向量
，且满足
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（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基．
说明
（3）若向量组 是向量空间 的一
个基，则 可表示为
（2）若把向量空间 看作向量组，那末 的基
就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的
秩.
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, 基变换与坐标变换

书P250
将本小节中的“元素”改为“向量”即可
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(一) 向量的坐标
定义 设V是数域K上的n维向量空间,
是V的一组基底, 对任意V, 可由基底线性表出
则称有序数
为向量在基底
下的坐标, 记作
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设1, 2, …, n是向量空间V的一组基底,  V, 则表达式
是唯一的(坐标的唯一性).
证明
设在基底1, 2, …, n下有两种表达式
则
由1, 2, …, n线性无关, 得
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