正方体的展开图.doc

一、正方体表面展开图的探究
2007年09月06日 星期四 下午 07:56
正方体的表面展开图问题是初中数学教材中的难点，下面我们通过对其特征的归纳进一步了解正方体的表面展开图.
　正方体由6个大小一样的正方形围成，每一个面都有一个相对的面（简称对面），有4个相邻的面（简称邻面）.将一个正方体的表面展开，共有多少种不同的形式？正方体表面展开图有什么基本特征？运用这些特征我们是否可以解决一些问题呢？
　设图1是一正方体模型，其上面、下面、前面、后面、右面、左面分别为α、α′、β、β′、γ、γ′.我们现在将AB、AD、AE、EH、BC、BF、FG七条棱剪开，便得到图2.
　
　在图1中，若将AB、AE、EH、HD、BF、FG、BC，那么展开可得图3.
　除图2、图3外，有类似的方法，还可得图4、图5、图6、图7.
　　
　观察以上6个展开图我们可发现如下特征：
　（1）展开图中成“直角”形状的三个面在正方体中有公共顶点，如图8.
　（2）正方体中两个互为对面的面在展开图中这两个对面之间通过1—4个面进行连接，如图9—图12.
　
　应用特征（2）我们可由图2至图7中任一展开图，得到正方体表面展开图的另外5种不同形式，例如：
　在图4中，将γ′平移与α连接，得图13.
　在图3中，将γ′平移与α连接，得图14.
　在图14中，将β′平移与α′连接，得图15.
　在图14中，将α′平移与γ′连接，得图16.
　在图5中，将γ′平移与α连接，得图17.
　　
　正方体表面展开图共有11种形式（即图2—图7及图13—图17），观察这11种展开图我们发现，有10种图形均有四列，按行的不同可把它们分为以下3类:
　（1）一四一型：图2、图3、图4、图5、图6、图7；
　（2）二三一（一三二）型：图13、图14、图17；
　（3）二二二型：图15.
　剩下1种有五列，我们称之为：三三型（两行五列），图16.
这11种形式之间都是可以相互转化的，而在变形的过程中，6个面之间的相邻关系及相对关系保持不变.
　我们应用正方体表面展开图的特征及其11种基本展开形式可有效地解决中考中的相关问题，请看下面几道题.
　
　【例1】 （2006·厦门）下列图形都是由6个大小一样的正方形拼接而成的，可以看成正方体表面展开图的是（      ）.
　
　【分析】 观察这四个图形，选项B、C无论怎样去排都不足四列，（一三二）型，选项D中正方体的展开图无此形式，故不选D.  
　解：A.
　【例2】 （2006·贵阳）如图是正方体的一个平面展开图，如果折叠成原来的正方体与边a重合的是（      ）.
　　
　Ａ. d　　Ｂ. e　　Ｃ. f　　
　【分析】 如上右图所示，正方体的六个面中，根据正方体对面的特征，显然面1、面3为对面，面5、面6为对面，面4、面2为对面，这样可把展开图恢复为正方体，显然边a与d将重合.
　解：A.
　【例3】 （2005·济南）如图，在正方体表面上画有如图（1）中所示的粗线，图（2）是其展开图的示意图，但只在A面上画有粗线，那么将图（1）中剩余两个面中的粗线画入图（2）中，画法正确的是（     ）.