时频分析方法综述.doc

几种时频分析方法简介
傅里叶变换（Fourier Transform）
小波变换（Wavelet Transform）
由傅里叶变换到窗口傅里叶变换（Gabor Transform(Short Time Fourier Transform)/）
从傅里叶变换的定义可知，时域函数h(t)的傅里叶变换H(f)只能反映其在整个实轴的性态，不能反映h（t）在特定时间区段的频率变化情况。如果要考察h(t)在特定时域区间（比如：t∈[a,b]）的频率成分，很直观的做法是将h(t)在区间t∈[a,b]与函数，然后考察傅里叶变换。但是由于在t= a,b处突然截断，导致中出现了原来h（t）中不存在的不连续，这样会使得的傅里叶变化中附件新的高频成分。为克服这一缺点，“窗口”傅里叶变换的概念，他的做法是，取一个光滑的函数g(t),称为窗口函数，它在有限的区间外等于0或者很快地趋于0，然后将窗口函数与h(t)相乘得到的短时时域函数进行FT变换以考察h(t)在特定时域的频域情况。
图：STFT示意图
STFT算例
图：四个余弦分量的STFT
窗口傅里叶变换（Gabor）到小波变换（Wavelet Transform）
图：小波变换
定义满足条件：
的平方可积函数ψ(t)(即ψ(t)∈L2（—∞，+∞）)为——基本小波或小波母函数。
Haar小波函数
db3小波函数
db4小波函数
db5小波函数
mexh小波函数
图：几种常用的小波函数
令
，a、b为实数，且a≠0，
称ψab为由母函数生成的有赖于参数a,b的连续小波函数。设f(t)∈L2（—∞，+∞），定义其小波变换为：
与Fourier类似，小波变化也具有反演公式：
，
以及Parseval等式：
小波变换虽然具有频率愈高相应时间或空间分辨率愈高的优点，但其在频率域上的分辨率却相应降低。这是小波变换的弱点，使它只能部分地克服Fourier变换的局限性。小波包变换将在一定程度上弥补小波变换的这一缺陷。
图：FT变换、STFT变换及Wavelet Analysis比较
图：Wavelet应用1——探测数据突变点
图：Wavelet应用1——探测数据突变点（树状显示）
图：Wavelet应用2——探测数据整体变化趋势
图：Wavelet应用2——探测数据中的频率成分
图：Wavelet应用3——压缩数据
图：Wavelet应用3——压缩数据
希尔伯特—黄变换（Hilbert-Huang Transform）
（Hilbert Transform and instantaneous frequency）
对于任意一个时间序列X(t)，它的希尔伯特变换具有如下形式：
其中，P——积分的柯西主值；
希尔伯特变换对于任何属于Lp 空间中的函数都存立，即上式中X(t)∈Lp（—∞，+∞）。
通过上述定义，X(t)和Y(t)成为一组复共轭对，同时能够构造一个实部和虚部分为X(t)和Y(t)的解析信号(Analytic Signal)Z(t)，Z(t)表示为：
其中，
理论上讲有无数种方式去定义虚部，但是希尔伯特变换是唯一能够得到解析信号结果的方法。X(t)的Hilbert变换实质上是将X(t)与函数1/t在时域上做卷积，这就决定了通过X(t)的