数学建模 第2章 初等数学方法建模.doc

第2章初等数学方法建模
公平的席位分配
美国参众两院(维基百科,自由的百科全书)
美国参议院是美国国会两院之一,另一院为众议院。美国每一州于参议院中均有两位议员作为代表,与各州人口无关。所以全院员额为100名议员。参议员任期六年,相互交错,故每隔两年改选约三分之一的席位。美国副总统为参议院主席,但不担任参议员;除非是为了打破表决平手的僵局,否则不得投票。参议院公认较众议院更为审慎;参议员名额较少且任期较短,容许学院派看法与党派之见,较众议院更易自外于公共舆论。参议院拥有若干表列于宪法而未授予众议院的权力。其中最重要的是,美国总统批准条约或任命重要人事时,须"采酌参议院之建议并得其认可"(美国宪法第一修正案)
两院制的国会是于制宪会议中所订立的康乃迪克协议所得的结果。依该协议,各州在众议院中的代表权以人口为基础,但在参议院中具均等代表权。宪法规定法律之制须经两院通过。参议院所单独拥有的权力较众议院所单独拥有的权力更为重要。其结果使得参议院(上议院)所负的责任较众议院(下议院)更为广泛。
美国参议院承袭古罗马参议院之名。其议场座落于首都所在的华盛顿特区,位于国会山庄北翼。众议院则在同一幢建筑的南翼召开会议。
设某校三个系共200名学生,甲、乙、丙系学生数分别为100、60、40,现设学生代表会议席位20个,显然按比例三个系的名额应分别为10、6、4. 现丙系有6人转入甲、乙两系,各系人数变为103、63、34. 、、,由于人数应取整,各系取整数为10、6、3,还多一个席位给小数部分最大的丙系,则三系名额为10、6、4. 但若席位数为21,、、,按上述原则,三系名额应为11、7、3,显然对丙系不公平.
下面讨论新的分配方案.
建立数量指标设A、B两方,人数分别为p1, p2,占有席位分别为n1, n2,则两方每个席位代表的人数分别为p1/n1, p2/n2. 其中较大者吃亏(对此方不公平). 不公平程度可用p1/n1 - p2/n2表示A方的吃亏程度,越大越吃亏,负值为占便宜. 但是
120/10 - 100/10 = 2, 1020/10 - 1000/10 = 2,
显然这两种情况的吃亏程度不一样. 为此给出如下定义.
定义对A的相对不公平值 rA(n1, n2) = (p1/n1 - p2/n2)/(p2/n2) (当p1/n1 > p2/n2); 对B的相对不公平值 rB(n1, n2) = (p2/n2 - p1/n1)/(p1/n1) (当p2/n2 > p1/n1).
席位分配方案应使rA, rB尽可能小.
确定分配方案假设现在p1/n1 > p2/n2,对A不公平,现增加1个席位,有三种可能:
(1) p1/(n1+1) ³ p2/n2,显然新增1席应给A(因为A多了1席仍不占便宜).
(2) p1/(n1+1) < p2/n2,这时对B不公平,
rB(n1+1, n2) = [p2/n2 - p1/(n1+1)]/[p1/(n1+1)] = p2(n1+1)/(p1n2) -1.
(3) p1/n1 > p2/(n2+1),仍然A吃亏,rA(n1, n2+1) = p1(n2+1)/(p2n1)