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比例建模
比例是最基本也是最常用的数学建模方法之一. 在实际应用领域和理论推导过程中, 比例关系往往发挥着至关重要的作用. 例如牛顿第二定律, 微分公式等等.
一、比例的定义
变量y与x成比例():
.
显然, 比例关系具有反身性, 对称性, 传递性:
,
,
.
比例关系还可推广, 如
.
一般地,
.
实际应用举例:
导数: 函数的增量与自变量的增量之比的极限, 当导数大于零时, 在自变量很小时可近似地认为函数的增量与自变量的增量成比例.
间谍照片经翻拍, 成为胶片上芝麻大的一点, 剪下后便于隐藏. 其中图形的大小关系显然要利用比例来计算. (华盛顿特区间谍博物馆)
生产队的分配比例: 拿1万斤粮食分配给社员家庭, 其中30%按人口比例分配, 70%按工分比例分配, 每家应得的粮食斤数.
二、比例的几何表示
y与x成比例, 即, y的图形为xy坐标系中过原点的直线. 若, 在坐标系中横轴表示f(x), 纵轴表示y, 这时y的图形也为直线. 下图为的图形:
y
y =
2
1
O 2 4 x2
注: 比例的图形为直线, 但图形为直线的量未必成比例. 例如, y与x并不成比例. 但是, 与x成比例.
著名公式中的比例关系
Hooke's law: F = kS (虎克定律: 弹力与形变成正比)
Newton's law: F = ma
Ohm's law: V = iR
Boyle's law: V = k/p (玻尔定律: 常温下一定量的气体体积与压强成反比, 即与压强的倒数成正比)
Einstein's theory of relativity: E = c2M
Kepler's third law: T = cR3/2, 开普勒第三定律:T为行星绕太阳运行的周期, R为行星到太阳的平均距离.
例1 以著名的开普勒第三定律(Kepler's third law)为例进行讨论. 1601年, 德国天文学家Johannes Kepler成为Prague天文台的主任. Kepler 曾帮助Tycho Brahe收集了13年的火星相对运动的资料. 到了1609年, Kepler建立了他的前两个定律:
每个行星沿一个椭圆运动, 太阳位于此椭圆的一个焦点上.
对于每个行星, 太阳到此行星的直线在相同的时间里扫过相同的面积.
Kepler花费了许多年推导了这两个定律, 并进而得到了上述的第三定律, 此定律把行星的轨道运行周期和到太阳的平均距离联系了起来. 以下是1993年世界年鉴(World Almanac)给出的资料:
表1 行星的轨道周期和到太阳的平均距离
行星
周期T(天)
平均距离R(百万哩)
Mercury 水星

36
Venus 金星


Earth 地球

93
Mars 火星


Jupiter 木星


Saturn 土星


Uranus 天王星


Neptune 海王星


Pluto 冥王星

36