数值计算方法(第3章)2 矩阵的三角分解法 矩阵求逆.ppt

矩阵的三角分解法?我们知道对矩阵进行一次初等变换,就相当于用相应的初等矩阵去左乘原来的矩阵。因此我们这个观点来考察 Gauss 消元法用矩阵乘法来表示,即可得到求解线性方程组的另一种直接法:矩阵的三角分解。 Gauss 消元法的矩阵形式)2( )1( 1 )2()2(2 )2()2( )1()1()1()1()1()1( )1()1()1( )1()1()1( 1 31 21 1 )1( 11 )1(11 11 1 31 1 21 )1( 11 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 ...... 00 ...... ... 10 1 1 ..., 32i)()( (1) , ,..., ,0:1 2 22 1 12 11 21 2 22 21 1 12 11A A L aa aa aaaaaa aaa aaal l l ni -l a alaaaa nn n n nn nn n nn n i iin?????????????????????????????????????????????????????????,其矩阵形式为, , 行行令消零时,将步等价于第则) ( ) ( ) ()3()3()3(3 )3(3 )3(33 )2(2 )2(23 )2(22 )1(1 )1(13 )1(12 )1( 11 22 2 )2(22 )2(22 2 32 2 )2(22...00 ............... ...00 ... 0 ... : ),..., 4,3(1...00 ......... 0...10 0...010 0...001 0 2Aaa aa aaa aaaaALA nia all l L ann n n n n )()( ii n????????????????????????????????????????,即有左乘时,用矩阵步等价于:若同理第??????????????????????????????????????????????????????1 ... 1 1 11 ... ... ... 1 1 ...000 ... ... ... ... ... ...00 ... 0 ... ...2 32 12 1 21 11 )( )3(3 )3( 33 )2(2 )2( 23 )2( 22 )1(1 )1( 13 )1( 12 )1( 11 1221n n n nn n n n nnl l Ll lL Ua aa aaa aaaaALLLL 因为以此类推可得为上三角阵为单位下三角阵, 其中所以 U 1... ......... 1 1 1 ... )...(121 32 31 21 11 12 12 11 11221L LU Ulll ll l ULLLLULLLLAnn nn nn nn???????????????????????????????分解。行直接进否对矩阵因此,关键问题在于能个三角方程: 就等价于解两由此解线性方程组 LU A y Ux b Ly UL Abx bx ????????)( Doolittle 分解 11 31 31 31 11 31 11 21 21 21 11 21 1111 23 23 22 13 12 11 32 31 21 33 32 31 23 22 21 13 12 11)3,2,1( 1 1 1 1 3 ,u allua u allua jauuak u uu uuull laaa aaa aaa nULjjjj?????????????????????????????????????????得由; 得由时: 为例的各元素,以此分解在于如何算出)( 3 223 32 13 31 33 33 33 23 32 13 31 33 22 12 31 32 32 23 32 12 31 32 13 21 23 23 23 13 21 23 12 21 22 22 22 12 21 22ululau uululak u ulalulula ulauuula ulauuulak????????????????????得时:由得由; 得由; 得时: Doolittle 分解?若矩阵 A有分解: A=LU ,其中 L为单位下三角阵, U为上三角阵,则称该分解为 Doolittle 分解,可以证明,当 A的各阶顺序主子式均不为零时, Doolittle 分解可以实现并且唯一。?A的各阶顺序主子式均不为零,即),... 2